لگاریتم: چگونه با اعداد غولپیکر صحبت کنیم؟
ما انسانها به صورت خطی فکر میکنیم (۱، ۲، ۳...)، اما طبیعت به صورت نمایی رشد میکند. لگاریتم ابزاری بود که برای پل زدن میان این دو دنیا اختراع شد.
تصور کنید میخواهید فاصله بین اتمها را اندازه بگیرید و در همان لحظه، فاصله بین کهکشانها را. اگر بخواهید هر دو را روی یک خطکش معمولی نشان دهید، غیرممکن است. یا خطکشتان آنقدر بزرگ میشود که در جهان جا نمیشود، یا آنقدر ریز که اتمها دیده نمیشوند.
اینجا جایی است که لگاریتم وارد میدان میشود. لگاریتم فشردهساز اعداد است. این مفهوم ریاضی به ما اجازه میدهد زلزلهای که ۱۰ برابر قویتر از دیگری است را فقط با یک واحد اختلاف (مثلاً ۵ ریشتر در مقابل ۶ ریشتر) نشان دهیم.
01.تاریخچه: کابوس دریانوردان
در قرن هفدهم، ستارهشناسان و دریانوردان با مشکلی مرگبار روبرو بودند: ضرب کردن اعداد بسیار بزرگ. محاسبه موقعیت کشتیها نیازمند ضربهای طولانی و طاقتفرسا بود که گاهی روزها طول میکشید و پر از خطا بود. یک خطای کوچک یعنی گم شدن در اقیانوس.
جان نپر (John Napier)، ریاضیدان اسکاتلندی، در سال ۱۶۱۴ راه حلی جادویی ارائه داد. او متوجه شد که اگر بتوانیم "ضرب" را به "جمع" تبدیل کنیم، سرعت محاسبات دهبرابر میشود. لگاریتم دقیقاً همین کار را میکند:
log(a × b) = log(a) + log(b)به جای ضرب کردن دو عدد غولپیکر، کافی بود لگاریتم آنها را از جدول پیدا کنید، با هم جمع کنید و دوباره به عدد اصلی برگردانید.
02.جعبه سیاه: لگاریتم واقعاً چیست؟
بیایید از تعاریف پیچیده دوری کنیم. لگاریتم فقط پاسخ به یک سوال ساده است:
«چند بار باید این عدد (مبنا) را در خودش ضرب کنم تا به آن عدد دیگر برسم؟»
سوال نمایی
23 = 8
۲ به توان ۳ میشود ۸.
پاسخ لگاریتمی
log2(8) = 3
لگاریتم ۸ در مبنای ۲ میشود ۳.
در ابزار محاسباتی ما، وقتی شما عدد ۱۰۰ را وارد میکنید و مبنا ۱۰ است، ماشین حساب میپرسد: ۱۰ به توان چند میشود ۱۰۰؟ پاسخ ۲ است.
03.نمودار قدرت: خطی در برابر لگاریتمی
برای درک بهتر، به این نوارهای پیشرفت نگاه کنید. در دنیای خطی، فاصله ۱۰۰ تا ۱۰۰۰ بسیار زیاد است. در دنیای لگاریتمی، آنها فقط یک پله با هم فاصله دارند.
میبینید؟ با اینکه ۱,۰۰۰,۰۰۰ بسیار بزرگتر از ۱۰ است، در مقیاس لگاریتمی فقط ۶ برابر "سنگینتر" از ۱۰ است (چون ۱۰ به توان ۶ میشود یک میلیون).
04.چگونه دستی حساب کنیم؟
ماشین حسابها معمولاً دکمههای log (پایه ۱۰) و ln (پایه e) دارند. اگر بخواهید لگاریتم عدد ۵۰ در مبنای ۲ را حساب کنید چه؟
فرمول طلایی "تغییر مبنا" (Change of Base) کلید حل معماست:
مثال: محاسبه Log2(50)
- لگاریتم طبیعی (ln) عدد ۵۰ را بگیرید: ≈ 3.912
- لگاریتم طبیعی (ln) مبنا (یعنی ۲) را بگیرید: ≈ 0.693
- اولی را بر دومی تقسیم کنید: 3.912 / 0.693 ≈ 5.64
حالا نوبت شماست
اکنون که منطق پشت لگاریتم را میدانید، از ابزار ما برای محاسبات دقیق مهندسی یا علمی خود استفاده کنید.
استفاده از ماشین حساب لگاریتم