ضرب اعداد مختلط (Complex Multiplication)
ضرب اعداد مختلط فراتر از یک عملیات جبری ساده است؛ این عمل در صفحه مختلط (ارگند) نشاندهنده یک «دوران» و «تغییر مقیاس» است. وقتی عدد مختلط z1 را در z2 ضرب میکنیم، اندازه (طول بردار) آنها در هم ضرب میشود و زاویههای آنها (آرگومان) با هم جمع میشود. این ویژگی باعث شده اعداد مختلط ابزار اصلی در تحلیل مدارهای الکتریکی و پردازش سیگنال باشند.
قوانین و فرمولها
برای ضرب دو عدد z₁ = a + bi و z₂ = c + di، از قانون توزیع پذیری ضرب استفاده میکنیم و به یاد داریم که i² = -1.
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
تفسیر هندسی (دوران و تجانس)
دوران (Rotation)
ضرب در یک عدد مختلط، بردار را به اندازه زاویه (آرگومان) آن عدد میچرخاند. مثلاً ضرب در i باعث چرخش ۹۰ درجه پادساعتگرد میشود.
تغییر مقیاس (Scaling)
طول بردار حاصلضرب برابر است با حاصلضرب طول دو بردار اولیه. اگر در عددی با طول ۲ ضرب کنید، طول بردار حاصل دو برابر میشود.
سوالات متداول
چرا i به توان ۲ برابر منفی یک است؟▼
این یک تعریف بنیادی در اعداد مختلط است. i به عنوان واحد موهومی تعریف میشود تا معادله x² + 1 = 0 دارای جواب باشد. هندسیوار، دو بار چرخش ۹۰ درجه (ضرب در i) برابر با چرخش ۱۸۰ درجه (ضرب در ۱-) است.
آیا ضرب اعداد مختلط جابجایی پذیر است؟▼
بله، دقیقاً مانند اعداد حقیقی، z1 × z2 برابر با z2 × z1 است. ترتیب ضرب در نتیجه نهایی تاثیری ندارد.