تعریف ریاضی عدد زوج و فرد
در نظریه اعداد، مفهوم زوجیت (Parity) به قابلیت تقسیم یک عدد صحیح بر عدد ۲ اشاره دارد.
عدد زوج: عددی است که به صورت 2k نوشته شود (که k یک عدد صحیح است). به زبان ساده، عددی که بر ۲ بخشپذیر باشد.
عدد فرد: عددی است که به صورت 2k + 1 نوشته شود. تقسیم این اعداد بر ۲ همیشه باقیمانده ۱ دارد.
روش تشخیص سریع (بدون تقسیم)
برای تشخیص زوج یا فرد بودن اعداد بزرگ، نیازی به تقسیم کامل نیست. کافی است به رقم یکان (رقم سمت راست) نگاه کنید:
اعداد زوج (Even)
اگر رقم یکان یکی از اعداد زیر باشد:
0, 2, 4, 6, 8
اعداد فرد (Odd)
اگر رقم یکان یکی از اعداد زیر باشد:
1, 3, 5, 7, 9
خواص جمع و ضرب (جبری)
| عملیات | قانون | مثال |
|---|---|---|
| جمع دو عدد همجنس | Even + Even = Even Odd + Odd = Even | 2 + 4 = 6 3 + 5 = 8 |
| جمع دو عدد غیر همجنس | Even + Odd = Odd | 2 + 3 = 5 |
| ضرب | Even × Any = Even Odd × Odd = Odd | 4 × 3 = 12 3 × 5 = 15 |
نکات کلیدی و اشتباهات رایج
- عدد صفر: صفر یک عدد زوج است. این موضوع یک قرارداد نیست، بلکه نتیجه تعریف ریاضی است (۰ بر ۲ بخشپذیر است).
- اعداد منفی: زوج و فرد بودن برای اعداد منفی هم صادق است. مثلاً -۴ زوج و -۷ فرد است.
- اعداد اعشاری: اعدادی مثل ۳.۵ یا ۴.۲ نه زوج هستند و نه فرد. این ویژگی مخصوص اعداد صحیح است.
سوالات متداول (FAQ)
چرا حاصلضرب دو عدد فرد، فرد میشود؟▼
زیرا اعداد فرد عامل ۲ ندارند. وقتی دو عدد که عامل ۲ ندارند را در هم ضرب میکنیم، حاصلضرب نیز عامل ۲ نخواهد داشت، پس فرد باقی میماند.
آیا بینهایت عدد زوج داریم؟▼
بله، اعداد زوج و فرد هر دو مجموعههای نامتناهی هستند که یکدرمیان تا بینهایت ادامه دارند.