مجموع دنباله هندسی (Geometric Series)
سری هندسی حاصل جمع جملات یک دنباله هندسی است. اهمیت این سریها در ریاضیات به قدری است که پایه و اساس محاسبات مالی (اقساط وام، ارزش فعلی)، فیزیک و مهندسی (پردازش سیگنال) را تشکیل میدهند. ویژگی منحصر به فرد این سری این است که اگر قدر نسبت آن بین ۱- و ۱ باشد، حتی اگر تعداد جملات بینهایت باشد، مجموع آن به یک عدد مشخص میل میکند (همگراست).
فرمولهای محاسبه Sn
حالت عادی (r ≠ 1)
فرمول کلی مجموع n جمله اول:
مجموع بینهایت (|r| < 1)
وقتی n به سمت بینهایت میرود:
مثالهای کاربردی
پارادوکس زنون (Zeno's Paradox)
اگر بخواهید طول یک اتاق را طی کنید، ابتدا نصف راه را میروید، سپس نصف باقیمانده، و باز نصف آن... مجموع این مسیرها (1/2 + 1/4 + 1/8 + ...) یک سری هندسی نامتناهی با r=0.5 است که مجموع آن دقیقاً برابر 1 (کل اتاق) میشود.
اثر ضریب فزاینده اقتصادی
وقتی دولت پولی به اقتصاد تزریق میکند، این پول دست به دست میچرخد. اگر هر شخص ۸۰٪ درآمد خود را خرج کند (r=0.8)، مجموع کل پول ایجاد شده در اقتصاد چندین برابر تزریق اولیه خواهد بود.
خطاهای رایج
- استفاده از فرمول بینهایت برای r ≥ 1 (که نتیجه غلط میدهد، چون سری واگراست).
- اشتباه در اولویت عملیات ریاضی (مثلاً اول کسر کردن ۱ از r^n قبل از ضرب در a).
- فراموش کردن علامت منفی وقتی r منفی است (که باعث میشود جملات یک در میان مثبت و منفی شوند).