جایگشت (Permutation) چیست؟
در ریاضیات و آنالیز ترکیبی، Permutation یا جایگشت به معنی مرتبسازی مجموعهای از اشیاء است. زمانی که میخواهیم تعدادی از اشیاء (r) را از یک مجموعه بزرگتر (n) انتخاب کنیم و ترتیب چیدمان آنها برایمان مهم است، از جایگشت استفاده میکنیم. برای مثال، انتخاب رمز ۴ رقمی برای کارت بانکی یک مسئله جایگشت است، زیرا ترتیب اعداد (۱۲۳۴ با ۴۳۲۱) متفاوت است.
فرمول ریاضی محاسبه nPr
P(n, r) = n!(n - r)!
در این فرمول n! (ان فاکتوریل) به معنی حاصلضرب اعداد ۱ تا n است. نماد P مخفف Permutation است.
مثالهای کاربردی در دنیای واقعی
مسابقه دو میدانی
اگر ۸ دونده در مسابقه شرکت کنند، نفرات اول، دوم و سوم به چند طریق ممکن است مشخص شوند؟
P(8, 3) = 8 × 7 × 6 = 336
رمز عبور موبایل
تعداد حالات انتخاب یک پینکد ۴ رقمی از بین اعداد ۰ تا ۹ (بدون تکرار ارقام).
P(10, 4) = 10 × 9 × 8 × 7 = 5,040
اشتباه رایج: جایگشت یا ترکیب؟
- ترتیب مهم است؟ اگر بله، از جایگشت (Permutation) استفاده کنید. (مثال: شماره پلاک خودرو، صف نانوایی، رتبهبندی مسابقات).
- ترتیب مهم نیست؟ اگر خیر، از ترکیب (Combination) استفاده کنید. (مثال: مخلوط کردن میوهها برای سالاد، انتخاب ۳ نفر برای یک تیم گروهی).
سوالات متداول
چرا n باید بزرگتر یا مساوی r باشد؟▼
چون شما نمیتوانید تعداد بیشتری شیء را از یک مجموعه کوچکتر انتخاب کنید. مثلا نمیتوانید ۵ نفر را از یک گروه ۳ نفره برای مسابقه انتخاب کنید.
مقدار 0! (صفر فاکتوریل) چند است؟▼
طبق تعریف ریاضی، 0! برابر با 1 است. این قرارداد باعث میشود فرمولهای ریاضی (مثل همین فرمول جایگشت) در تمام حالات به درستی کار کنند.
تفاوت جایگشت با تکرار و بدون تکرار چیست؟▼
فرمول nPr برای حالت "بدون تکرار" است (مثلاً وقتی یک نفر اول شد، دیگر نمیتواند دوم شود). در حالت "با تکرار" (مثل رمز گاوصندوق که عدد ۵ میتواند چندبار بیاید) فرمول سادهتر و برابر با n به توان r است.