اتحاد فیثاغورسی چیست؟
در مثلثات، رابطه sin²θ + cos²θ = 1 معروفترین و بنیادیترین اتحاد است. این رابطه بیان میکند که برای هر زاویه دلخواهی، مربع سینوس به علاوه مربع کسینوس همواره برابر با یک است. این اتحاد مستقیماً از قضیه فیثاغورس در هندسه اقلیدسی ناشی میشود.
Prاثبات هندسی
دایره مثلثاتی دایرهای به شعاع r = 1 است. اگر نقطهای با مختصات (x, y) روی این دایره در نظر بگیریم:
- طول افقی برابر است با x = cosθ
- طول عمودی برابر است با y = sinθ
- طبق فرمول فاصله (یا قضیه فیثاغورس در مثلث قائمالزاویه ایجاد شده): x² + y² = r²
(cosθ)² + (sinθ)² = 1² ⇒ cos²θ + sin²θ = 1
مثال عددی (زاویه ۳۰ درجه)
فرض کنید زاویه ۳۰ درجه باشد:
sin(30°) = 0.5 ⇒ sin²(30°) = 0.25
cos(30°) = √3/2 ≈ 0.866 ⇒ cos²(30°) = 0.75
Sum: 0.25 + 0.75 = 1
نکات مهم
- نحوه نوشتن توان: توجه کنید که sin²θ به معنی (sinθ)² است و با sin(θ²) کاملا متفاوت است.
- همیشه ۱ است: فرقی نمیکند زاویه مثبت باشد یا منفی، بزرگ باشد یا کوچک، بر حسب درجه باشد یا رادیان. نتیجه همیشه دقیقاً ۱ است.
سوالات متداول
کاربرد این اتحاد چیست؟▼
این اتحاد پایه و اساس سادهسازی معادلات مثلثاتی است. مثلا اگر در معادلهای 1 - sin²x دیدید، میتوانید آن را سریعا با cos²x جایگزین کنید که حل مسئله را بسیار ساده میکند.
آیا برای تانژانت هم اتحادی وجود دارد؟▼
بله، اگر طرفین همین معادله را بر cos²θ تقسیم کنید، به اتحاد 1 + tan²θ = sec²θ میرسید.