سینوس هیپربولیک چیست؟
تابع sinh (تلفظ میشود "سینچ" یا "شاین") همتای هذلولی (Hyperbolic) تابع سینوس معمولی است. اگر توابع مثلثاتی معمولی روی یک دایره تعریف میشوند (x² + y² = 1)، توابع هیپربولیک روی یک هذلولی متساویالساقین (x² - y² = 1) تعریف میشوند.
این تابع در حل معادلات دیفرانسیل خطی، محاسبه کشش کابلهای معلق (مانند کابلهای برق یا پلهای معلق) و همچنین در نظریه نسبیت خاص انیشتین کاربرد اساسی دارد. برخلاف سینوس معمولی که بین ۱- و ۱ نوسان میکند، سینوس هیپربولیک با افزایش ورودی، به سرعت به سمت بینهایت رشد میکند.
فرمول ریاضی
سینوس هیپربولیک بر اساس عدد نپر (e ≈ 2.718) تعریف میشود:
مثالهای عددی
۱. مقدار در صفر
در نقطه صفر، منحنی هذلولی از مبدا مختصات میگذرد.
sinh(0) = (e⁰ - e⁻⁰)/2 = (1 - 1)/2 = 0
۲. تقارن فرد
تابع sinh یک تابع "فرد" (Odd Function) است، یعنی sinh(-x) = -sinh(x).
مثلاً اگر sinh(1) برابر ۱.۱۷۵ باشد، sinh(-1) برابر ۱.۱۷۵- خواهد بود.
۳. رشد سریع
برای مقادیر بزرگ x، جمله e⁻ˣ بسیار ناچیز میشود و تابع رفتاری شبیه به eˣ / 2 پیدا میکند. به همین دلیل در اعداد بالا بسیار سریع رشد میکند.
اشتباهات رایج
- اشتباه با Sine: مهمترین اشتباه، تصور شباهت رفتاری با sin است. sin یک تابع تناوبی و محدود است، اما sinh غیرتناوبی و نامحدود است.
- واحد زاویه: ورودی توابع هیپربولیک "زاویه هذلولی" (Hyperbolic Angle) نامیده میشود که در واقع دو برابر مساحت قطاع هذلولی است. اینجا مفهومی به نام درجه (Degree) یا گراد وجود ندارد و ورودی همیشه یک عدد حقیقی است.
- علامت منفی: در فرمول sinh بین دو عبارت نمایی علامت منفی وجود دارد، در حالی که در cosh علامت مثبت است.