دانشنامه میانگین هندسی (Geometric Mean)
میانگین هندسی چیست؟
میانگین هندسی نوعی میانگین است که به جای جمع کردن اعداد (مانند میانگین حسابی)، آنها را در هم ضرب میکند و سپس ریشه n-ام آنها را میگیرد. این شاخص برای اعدادی که ماهیت ضربی دارند (مانند نرخ رشد، درصد سود، تورم و نسبتها) بسیار دقیقتر از میانگین معمولی عمل میکند. در واقع میانگین هندسی نشان میدهد که اگر نرخ رشد در تمام دورهها ثابت بود، آن نرخ چقدر میشد.
فرمول ریاضی
GM=
ⁿ√(x₁ . x₂ . ... . xₙ)
توضیح فرمول:
- x: اعداد مجموعه (باید مثبت باشند)
- n: تعداد کل اعداد
- نقطه (.): نماد ضرب
- برای محاسبه، همه اعداد را ضرب کرده و سپس به توان (1/n) میرسانیم.
کاربردها و مثالهای واقعی
سرمایهگذاری (بورس/طلا)
فرض کنید سرمایه شما در سال اول 20% رشد کرده (ضریب 1.20) و در سال دوم 10% افت کرده (ضریب 0.90).
میانگین حسابی رشد: 5% (غلط است).
میانگین هندسی: √(1.20 × 0.90) ≈ 1.039
یعنی میانگین رشد سالانه واقعی 3.9% بوده است.
رشد جمعیت یا شرکت
اگر یک استارتاپ در سال اول 2 برابر، سال دوم 8 برابر و سال سوم 4 برابر شده باشد، برای یافتن "میانگین نرخ رشد"، باید از میانگین هندسی استفاده کرد (ریشه سوم حاصلضرب 2×8×4).
اشتباهات متداول
- استفاده برای جمع و تفریق: میانگین هندسی فقط برای مقادیر ضربی (درصد، نسبت) کاربرد دارد، نه برای مقادیر جمعی (مثل دمای هوا).
- اعداد منفی: میانگین هندسی برای اعداد منفی تعریف نشده است (چون ریشه زوج عدد منفی در اعداد حقیقی وجود ندارد).
- فراموشی تبدیل درصد به ضریب: برای محاسبه رشد 20%، باید از عدد 1.20 استفاده کنید، نه خود عدد 20.
- اعداد صفر: اگر حتی یک عدد صفر باشد، کل میانگین هندسی صفر میشود که ممکن است تحلیل را خراب کند.
سوالات متداول
تفاوت اصلی میانگین هندسی و حسابی چیست؟▼
میانگین حسابی (جمع تقسیم بر تعداد) برای مقادیر مستقل و جمعپذیر مناسب است. میانگین هندسی (ریشه حاصلضرب) برای مقادیر وابسته، درصدی و دارای اثر مرکب مناسب است. میانگین هندسی همیشه کوچکتر یا مساوی میانگین حسابی است.
چرا برای محاسبه تورم میانگین از هندسی استفاده میشود؟▼
چون تورم ماهیت مرکب دارد (تورم سال جدید بر روی قیمتهای تورمزده سال قبل اعمال میشود)، بنابراین میانگین هندسی نرخ تورم دقیقتر از میانگین ساده آن است.