فرمول اویلر چیست؟
لئونارد اویلر، ریاضیدان بزرگ سوئیسی، رابطهای بنیادین را کشف کرد که بین اجزای یک چندوجهی محدب (مانند مکعب یا هرم) برقرار است. این فرمول بیان میکند که برای هر چندوجهی که حفره نداشته باشد و سطوح آن یکدیگر را قطع نکنند، حاصل جمع تعداد رئوس و وجوه، منهای تعداد یالها، همواره برابر با عدد ۲ است. این عدد ۲ به نام «مشخصه اویلر» (Euler Characteristic) شناخته میشود.
رابطه ریاضی
V - E + F = 2
Vتعداد رئوس (Vertices)
Eتعداد یالها (Edges)
Fتعداد وجوه (Faces)
مثالهای اثبات شده
مکعب (Cube)
- V = 8
- F = 6
- E = 12
- 8 - 12 + 6 = 2
چهاروجهی (Tetrahedron)
- V = 4
- F = 4
- E = 6
- 4 - 6 + 4 = 2
هشتوجهی (Octahedron)
- V = 6
- F = 8
- E = 12
- 6 - 12 + 8 = 2
چرا گاهی نتیجه ۲ نمیشود؟
- اشکال حفرهدار (مانند دونات)
فرمول V-E+F=2 فقط برای اجسامی صادق است که از نظر توپولوژی مشابه کره باشند (Genus 0). برای یک چنبره (Torus) که یک سوراخ دارد، این حاصل برابر با ۰ میشود.
- چندوجهیهای غیرمحدب پیچیده
اگر وجوه چندوجهی یکدیگر را قطع کنند (Self-intersecting) یا شکل دارای حفرههای داخلی باشد، این قانون به شکل استاندارد برقرار نخواهد بود.
سوالات متداول
آیا این فرمول برای کره هم صادق است؟▼
بله، اگر سطح کره را با شبکهای از چندضلعیها بپوشانید (مشبندی کنید)، مجموع رئوس منهای یالها به علاوه وجوه آن شبکه دقیقاً ۲ خواهد شد. کره از نظر توپولوژی معادل چندوجهی محدب است.
عدد مشخصه اویلر (χ) چه کاربردی دارد؟▼
این عدد در توپولوژی برای طبقهبندی سطوح استفاده میشود. مثلاً هر شکلی که بتوان آن را بدون پاره کردن به کره تبدیل کرد، مشخصه ۲ دارد. اگر به دونات تبدیل شود، مشخصه ۰ دارد.