معادله درجه ۳ چیست؟
معادله درجه سوم (Cubic Equation) یک معادله جبری است که در آن بالاترین توان متغیر ایکس برابر با ۳ است. فرم کلی این معادلات به صورتax³ + bx² + cx + d = 0میباشد که در آن "a" مخالف صفر است. برخلاف معادلات درجه دوم که نمودار آنها سهمی است، نمودار معادلات درجه ۳ شکلی شبیه به حرف "S" کشیده دارد و میتواند محور افقی را در یک، دو یا سه نقطه قطع کند. این نقاط همان "ریشهها" هستند.
فرمول کاردانو (Cardano's Method)
برای حل تحلیلی این معادلات، معمولاً ابتدا معادله را به فرم "فشرده" (Depressed Cubic) تبدیل میکنند تا ترم توان ۲ حذف شود. سپس از روابط زیر استفاده میشود:
1. x = t - b/(3a)
2. p = (3ac - b²)/(3a²)
3. q = (2b³ - 9abc + 27a²d)/(27a³)
سپس ریشهها بر اساس دلتای معادله فشرده محاسبه میشوند.
این روش به ما اجازه میدهد تا دقیقاً مشخص کنیم چه زمانی ریشهها حقیقی هستند و چه زمانی وارد حوزه اعداد مختلط (Complex Numbers) میشویم.
مثالهای کاربردی در ایران
مهندسی عمران
در طراحی مخازن کروی آب در پروژههای آبرسانی، محاسبه ارتفاع آب در مخزن (h) اغلب منجر به یک معادله درجه ۳ میشود که باید دقیق حل شود.
ترمودینامیک
معادلات حالت گازها (مثل معادله واندروالس) که در صنایع پتروشیمی جنوب ایران کاربرد دارند، برای محاسبه حجم مولی به حل معادلات مکعبی نیاز دارند.
ریاضیات کنکور
در تستهای بخش کاربرد مشتق، پیدا کردن نقاط اکسترمم توابع چندجملهای درجه ۴ نیازمند حل مشتق آنها (معادله درجه ۳) است.
خطاهای رایج محاسباتی
- فراموش کردن شرط a ≠ 0 (اگر a صفر باشد، معادله درجه ۲ است).
- اشتباه در محاسبه توانهای منفی هنگام کار با اعداد اعشاری کوچک.
- عدم تشخیص ریشههای تکراری (مثلاً زمانی که نمودار بر محور مماس میشود).
- گیج شدن در محاسبه ریشههای مختلط (زمانی که زیر رادیکال منفی میشود).
- اشتباه در تبدیل واحدها در مسائل فیزیکی که منجر به ضرایب غلط میشود.