دانشنامه میانگین هارمونیک (همساز)
میانگین هارمونیک چیست؟
میانگین هارمونیک (Harmonic Mean) که در فارسی «میانگین همساز» نیز نامیده میشود، یکی از سه میانگین کلاسیک فیثاغورثی (در کنار حسابی و هندسی) است. این میانگین با محاسبه «معکوس میانگینِ معکوسِ اعداد» به دست میآید. این روش زمانی استفاده میشود که اعداد ورودی بیانگر نرخ (Rate) یا نسبت (Ratio) باشند، مانند سرعت در فیزیک یا نسبت P/E در بورس.
فرمول ریاضی
H=
n
∑ (1/xᵢ)
تفسیر فرمول:
- n: تعداد کل دادهها
- ∑ (1/x): مجموع معکوس اعداد
- برای محاسبه، ابتدا همه اعداد را معکوس کنید (یک تقسیم بر عدد)، آنها را جمع کنید، و در نهایت تعداد کل (n) را بر این مجموع تقسیم نمایید.
مثالهای کاربردی
معمای سرعت متوسط
شخصی مسیری را با سرعت 60 کیلومتر بر ساعت میرود و همان مسیر را با سرعت 40 کیلومتر بر ساعت باز میگردد. سرعت متوسط او چقدر است؟
پاسخ غلط (میانگین حسابی): 50
پاسخ صحیح (هارمونیک): 48
2 / (1/60 + 1/40) = 48
الکترونیک (مقاومت موازی)
در مدارهای الکترونیکی، مقاومت معادل مدارهای موازی با استفاده از منطق هارمونیک محاسبه میشود. اگر میانگین هارمونیک مقاومتها را بگیرید و بر تعداد تقسیم کنید، مقاومت معادل بدست میآید.
نکات مهم و محدودیتها
- حساسیت به صفر: اگر حتی یکی از اعداد مجموعه صفر باشد، میانگین هارمونیک تعریف نشده (یا صفر حدی) میشود، زیرا معکوس صفر (1/0) بینهایت است.
- اعداد منفی: معمولاً میانگین هارمونیک برای اعداد منفی استفاده نمیشود زیرا ممکن است مخرج کسر صفر شود (مثلاً هارمونیک 2 و 2-).
- کوچکترین میانگین: میانگین هارمونیک همیشه از میانگین هندسی و حسابی کوچکتر است (H ≤ G ≤ A). این ویژگی آن را برای برآورد بدبینانه مناسب میکند.
سوالات متداول
چرا برای سرعت متوسط از میانگین معمولی استفاده نمیکنیم؟▼
چون در سرعت، بُعد زمان متغیر است. وقتی با سرعت کمتری حرکت میکنید، زمان بیشتری در راه هستید، پس سرعتِ کمتر، «وزن» زمانی بیشتری دارد. میانگین هارمونیک به طور خودکار این وزندهی را اصلاح میکند.
کاربرد این میانگین در بورس چیست؟▼
اگر بخواهید میانگین نسبت P/E (قیمت به درآمد) یک سبد سهام را حساب کنید، باید از میانگین هارمونیک استفاده کنید تا اثر شرکتهای با P/E بسیار بالا تعدیل شود و نتیجه واقعیتری بگیرید.