مجموع دنباله حسابی (Series)
سری حسابی (Arithmetic Series) حاصل جمع جملات یک دنباله حسابی است. در دنباله حسابی، اختلاف هر دو جمله متوالی مقدار ثابتی است. این مفهوم در ریاضیات پایه و حتی در مسائل روزمره مانند محاسبه مجموع حقوق در طول سالها یا محاسبه تعداد آجرهای یک دیوار هرمی کاربرد دارد.
داستان گاوس و فرمول مجموع
مشهور است که معلم ریاضی کارل فردریش گاوس (ریاضیدان بزرگ) در کودکی برای ساکت نگه داشتن کلاس، از دانشآموزان خواست تا اعداد ۱ تا ۱۰۰ را جمع کنند. گاوس در چند ثانیه پاسخ داد: ۵۰۵۰!
او متوجه شد که اگر عدد اول (۱) را با عدد آخر (۱۰۰) جمع کند، حاصل ۱۰۱ میشود. عدد دوم (۲) با عدد ماقبل آخر (۹۹) هم میشود ۱۰۱. از آنجا که ۵۰ جفت عدد وجود دارد، پاسخ برابر است با ۵۰ × ۱۰۱.
و با جایگذاری فرمول جمله آخر:
مثالهای کاربردی
صندلیهای استادیوم
اگر ردیف اول ۲۰ صندلی داشته باشد و هر ردیف ۲ صندلی بیشتر از ردیف قبلی داشته باشد، برای محاسبه ظرفیت کل ۳۰ ردیف از این فرمول استفاده میشود.
پسانداز تصاعدی
اگر هفته اول ۱۰ هزار تومان پسانداز کنید و هر هفته ۵ هزار تومان به مبلغ پسانداز اضافه کنید، مجموع پسانداز شما در پایان سال (۵۲ هفته) چقدر خواهد بود؟
خطاهای رایج
- اشتباه گرفتن "جمله nام" با "مجموع n جمله".
- فراموش کردن ضربدر n/2 در فرمول نهایی.
- استفاده از n-1 در فرمول جمله عمومی اما استفاده از n در فرمول مجموع (دقت کنید کجا n-1 است).