ضرب ماتریسها (Matrix Multiplication) چیست؟
ضرب ماتریس یکی از عملیاتهای بنیادی در جبر خطی است که در آن سطرهای ماتریس اول در ستونهای ماتریس دوم ضرب میشوند. برخلاف ضرب اعداد معمولی، این عملیات تنها زمانی تعریف شده است که تعداد ستونهای ماتریس اول با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشد. حاصل این عملیات ماتریس جدیدی است که ابعاد آن برابر با تعداد سطرهای ماتریس اول و ستونهای ماتریس دوم است.
فرمول ریاضی (حاصلضرب نقطهای)
عنصر سطر i و ستون j در ماتریس حاصل (C) از فرمول زیر بدست میآید:
Cij = Σ (Aik × Bkj)به عبارت دیگر: (عنصر اول سطر × عنصر اول ستون) + (عنصر دوم سطر × عنصر دوم ستون) + ...
ویژگیهای مهم
عدم خاصیت جابجایی
در حالت کلی A × B ≠ B × A. حتی ممکن است ضرب A در B ممکن باشد اما ضرب B در A تعریف نشده باشد.
خاصیت شرکتپذیری
اگر ابعاد ماتریسها اجازه دهد: (A × B) × C = A × (B × C).
عنصر خنثی (ماتریس همانی)
ضرب هر ماتریس مربعی در ماتریس همانی (I) برابر با خود آن ماتریس است: A × I = A.
سوالات متداول
چرا نمیتوانم یک ماتریس 2x3 را در 2x3 ضرب کنم؟▼
چون تعداد ستونهای ماتریس اول (3) با تعداد سطرهای ماتریس دوم (2) برابر نیست. این قانون برای انجام عملیات "سطر در ستون" ضروری است.
کاربرد ضرب ماتریس در کجاست؟▼
تقریباً در تمام محاسبات مهندسی! از چرخش و تغییر مقیاس اجسام در گرافیک کامپیوتری و بازیسازی تا شبکههای عصبی و هوش مصنوعی، همگی بر پایه ضرب ماتریس بنا شدهاند.