دانشنامه: تبدیل ضرب به جمع سینوسها
چرا تبدیل ضرب به جمع؟
در ریاضیات مهندسی و محاسبات دیفرانسیل، فرمولهای «تبدیل ضرب به جمع» (Product-to-Sum) نقشی حیاتی دارند. عبارتsin(A) sin(B)یک جمله غیرخطی است که انتگرالگیری مستقیم از آن دشوار است. با استفاده از این اتحاد، میتوان حاصلضرب را به تفاضل دو تابع کسینوسی خطی تبدیل کرد که محاسبه انتگرال یا مشتق آنها بسیار سادهتر است.
فرمول محاسباتی
برای تبدیل حاصلضرب دو سینوس، از رابطه زیر استفاده میشود. به ضریب یکدوم و علامت منفی بین کسینوسها دقت کنید:
sin(A) sin(B) = 1/2 [ cos(A-B) - cos(A+B) ]
اجزای فرمول:
- A-B: تفاضل دو زاویه (آرگومان کسینوس اول).
- A+B: مجموع دو زاویه (آرگومان کسینوس دوم).
- علامت بین دو کسینوس همیشه منفی است.
مثالهای حل شده
مثال ۱: محاسبه دقیق
حاصل عبارت sin(45°) sin(15°) را بیابید.
= 1/2 [cos(45-15) - cos(45+15)]
= 1/2 [cos(30) - cos(60)]
= 1/2 [√3/2 - 1/2] ≈ 0.183
= 1/2 [cos(30) - cos(60)]
= 1/2 [√3/2 - 1/2] ≈ 0.183
مثال ۲: کاربرد در انتگرال
برای حل انتگرال ∫sin(3x)sin(x)dx، ابتدا ضرب را به جمع تبدیل میکنیم:
1/2 [cos(2x) - cos(4x)]
سپس از هر جمله جداگانه انتگرال میگیریم.
اشتباهات رایج
- ×استفاده از علامت مثبت بین کسینوسها (این فرمول cosAcosB است، نه sinAsinB).
- ×فراموش کردن ضریب ۱/۲ در پشت پرانتز که نتیجه را دو برابر میکند.
- ×جابجا نوشتن تفاضل و مجموع (ترتیب: اول تفاضل، دوم مجموع).
سوالات متداول
تفاوت فرمول sinAsinB با cosAcosB چیست؟▼
در sinAsinB بین دو کسینوس علامت منفی وجود دارد (cos(A-B) - cos(A+B))، اما در cosAcosB علامت مثبت است.
اگر زوایا بر حسب رادیان باشند چه کنیم؟▼
فرمول هیچ تغییری نمیکند. فقط کافیست مقادیر ورودی را به صورت رادیان وارد کنید و محاسبات کسینوس را بر پایه رادیان انجام دهید. ابزار ما این کار را خودکار انجام میدهد.