دانشنامه: تبدیل جمع به ضرب سینوسها
مفهوم علمی (sinA + sinB)
در مثلثات، فرمولهای «تبدیل جمع به ضرب» (Sum-to-Product) ابزارهایی قدرتمند برای سادهسازی عبارات ریاضی هستند. فرمولsin(A) + sin(B)به طور خاص برای تبدیل مجموع دو تابع سینوسی به یک حاصلضرب استفاده میشود. این تبدیل در حل معادلات مثلثاتی، انتگرالگیری و تحلیل امواج در فیزیک کاربرد حیاتی دارد، زیرا کار با حاصلضرب توابع معمولاً سادهتر از مجموع آنهاست.
فرمول محاسباتی
برای محاسبه دستی، از فرمول زیر استفاده کنید. دقت کنید که آرگومانها ابتدا جمع و تفریق شده، سپس نصف میشوند:
sin(A) + sin(B) = 2 sin(A+B/2) cos(A-B/2)
در این فرمول:
- A: زاویه اول (بر حسب درجه یا رادیان)
- B: زاویه دوم
- جمله اول حاصلضرب شامل سینوسِ نصفِ مجموع زاویههاست.
- جمله دوم حاصلضرب شامل کسینوسِ نصفِ تفاضل زاویههاست.
مثالهای کاربردی
مثال ۱: زوایای استاندارد
محاسبه sin(60°) + sin(0°)
= 2 sin((60+0)/2) cos((60-0)/2)
= 2 sin(30) cos(30)
= 2 * (0.5) * (0.866) ≈ 0.866
= 2 sin(30) cos(30)
= 2 * (0.5) * (0.866) ≈ 0.866
مثال ۲: تداخل امواج صوتی
اگر دو موج صوتی با فازهای متفاوت sin(2x) و sin(4x) داشته باشیم، جمع آنها به صورت ضرب تبدیل میشود که پدیده «ضریان» (Beat) را توجیه میکند.
sin(4x) + sin(2x) = 2 sin(3x) cos(x)
اشتباهات رایج
- ×فراموش کردن تقسیم بر ۲ در آرگومانهای سینوس و کسینوس.
- ×اشتباه گرفتن این فرمول با فرمول sin(A+B). این دو کاملاً متفاوت هستند.
- ×عدم تطابق واحدها (مثلاً A به درجه باشد و B به رادیان). هر دو باید همواحد باشند.
- ×فرض اینکه سینوس خاصیت پخشی دارد (sin(A+B) = sinA + sinB) که غلطی فاحش است.
سوالات متداول
کاربرد اصلی تبدیل جمع به ضرب چیست؟▼
اصلیترین کاربرد آن سادهسازی معادلات برای حل دستی، محاسبه انتگرالها و تحلیلهای فیزیکی مانند برهمنهی امواج است.
آیا میتوانم از رادیان استفاده کنم؟▼
بله، ابزار WordAbyss از هر دو واحد درجه و رادیان پشتیبانی میکند. فقط کافیست دکمه مربوطه را در بالای فرم انتخاب کنید.
تفاوت sinA + sinB با sin(A+B) چیست؟▼
اولی جمع دو تابع مستقل است، در حالی که دومی سینوسِ مجموع دو زاویه است. مقادیر آنها معمولاً برابر نیستند.