تصاعد حسابی چیست؟
تصاعد حسابی (Arithmetic Progression یا به اختصار AP) دنبالهای از اعداد است که در آن اختلاف هر دو جمله متوالی مقداری ثابت است. این مقدار ثابت، قدر نسبت (Common Difference) نامیده میشود و با نماد d نمایش داده میشود. برای مثال، دنباله ۲، ۴، ۶، ۸ یک تصاعد حسابی با قدر نسبت ۲ است. این مفهوم یکی از پایهایترین مباحث درریاضیات گسسته و جبر است که در حل مسائل الگویابی کاربرد فراوان دارد.
فرمولهای محاسباتی (دستی)
۱. فرمول جمله عمومی (nام):
a1: جمله اول | n: شماره جمله | d: قدر نسبت
۲. فرمول مجموع جملات (Sn):
Sn: مجموع n جمله اول
مثالهای کاربردی در ایران
محاسبه کرایه تاکسی
فرض کنید ورودی تاکسی در تهران ۱۵,۰۰۰ تومان است و به ازای هر کیلومتر، ۳,۰۰۰ تومان اضافه میشود. کرایه مسیر ۱۰ کیلومتری یک تصاعد حسابی است که در آن a₁=۱۸,۰۰۰ (کیلومتر اول) و d=۳,۰۰۰ است.
پسانداز ماهانه
شخصی ماه اول ۱ میلیون تومان پسانداز میکند و تصمیم میگیرد هر ماه ۲۰۰ هزار تومان به مبلغ پسانداز اضافه کند. مبلغ پسانداز در ماه دوازدهم با این ابزار قابل محاسبه است.
چیدمان صندلیهای آمفیتئاتر
در یک سالن همایش، ردیف اول ۲۰ صندلی دارد و هر ردیف بعدی ۲ صندلی بیشتر از ردیف قبل دارد. برای محاسبه ظرفیت کل سالن (Sn) از این فرمول استفاده میشود.
اشتباهات رایج محاسباتی
- !اشتباه گرفتن مقدار جمله (an) با شماره جمله (n).
- !فراموش کردن علامت منفی در قدر نسبت (d) برای دنبالههای کاهشی.
- !استفاده از فرمول n-1 در حالتی که منظور مسئله n بوده است.
- !خطا در اولویت عملیات ریاضی (عدم ضرب d در پرانتز قبل از جمع با a1).
- !شمارش جملات از صفر (در تصاعد حسابی معمولاً n از ۱ شروع میشود).
سوالات متداول
چگونه قدر نسبت (d) را پیدا کنیم؟▼
کافی است هر جمله را از جمله قبلیاش کم کنید: d = an - an-1
آیا قدر نسبت میتواند منفی یا اعشاری باشد؟▼
بله، اگر اعداد دنباله کم شوند، d منفی است. همچنین d میتواند هر عدد حقیقی (اعشاری، کسری و ...) باشد.
اگر جمله اول و آخر را داشته باشیم، مجموع چگونه حساب میشود؟▼
در این حالت فرمول سادهتر است: Sn = (n / 2) * (a1 + an)
آیا تعداد جملات (n) میتواند اعشاری باشد؟▼
خیر، تعداد جملات همیشه باید یک عدد صحیح مثبت (Integer) باشد (مثلاً جمله ۱، جمله ۲...).
تفاوت این ابزار با ماشینحسابهای ساده چیست؟▼
این ابزار علاوه بر محاسبه، فرمول و پیشنمایش دنباله را نمایش میدهد و برای ورودیهای اعشاری و منفی بهینه شده است.