مرکز ثقل مثلث (Centroid) چیست؟
مرکز ثقل یا "Centroid" که با نماد G نمایش داده میشود، نقطهای در داخل مثلث است که محل برخورد سه «میانه» مثلث میباشد. میانه خطی است که از یک رأس به وسط ضلع روبرو وصل میشود. از نظر فیزیکی، اگر یک صفحه مثلثی شکل همگن داشته باشید، مرکز ثقل نقطهای است که میتوانید مثلث را روی نوک یک سوزن در آن نقطه متعادل نگه دارید. این نقطه مرکز تعادل هندسی شکل است.
فرمول ریاضی
در هندسه تحلیلی، مختصات مرکز ثقل به سادگی از طریق میانگین حسابی مختصات سه رأس بدست میآید:
G(x, y) = ( (x₁+x₂+x₃)/3 , (y₁+y₂+y₃)/3 )
Average of X coordinates, Average of Y coordinates
- x₁, y₁: مختصات رأس اول (A)
- x₂, y₂: مختصات رأس دوم (B)
- x₃, y₃: مختصات رأس سوم (C)
مثالهای کاربردی
۱. مهندسی عمران
برای محاسبه نقطه اثر بار در یک دال بتنی مثلثی شکل، مهندسان باید مرکز ثقل سطح را پیدا کنند.
A(0,0), B(6,0), C(3,9)
G(3, 3)
۲. گرافیک کامپیوتری
در پردازش مشهای سهبعدی، برای سادهسازی مدلها معمولاً از مرکز ثقل مثلثها به عنوان نماینده سطح استفاده میشود.
۳. طراحی صنعتی
پیدا کردن نقطه تعادل یک قطعه فلزی مثلثی برای برش لیزر یا نصب پایه نگهدارنده.
اشتباهات رایج
- خلط با مرکز دایره محیطی: مرکز ثقل (G) با مرکز دایره محیطی (O) یا مرکز دایره محاطی (I) متفاوت است. مرکز ثقل میانگین مختصات است، اما دیگر مراکز فرمولهای پیچیدهتری دارند.
- میانگین اضلاع: برخی به اشتباه طول اضلاع را میانگین میگیرند. فرمول مرکز ثقل بر اساس مختصات رئوس است، نه طول اضلاع.
سوالات متداول
آیا مرکز ثقل همیشه داخل مثلث است؟
بله، برای هر مثلثی (حتی مثلثهای با زوایای باز)، مرکز ثقل همواره در فضای داخلی مثلث قرار دارد.
ویژگی تقسیم میانه چیست؟
مرکز ثقل هر میانه را به نسبت ۲ به ۱ تقسیم میکند. یعنی فاصله مرکز ثقل تا رأس، دو برابر فاصله آن تا وسط ضلع مقابل است.
اگر نقاط همخط باشند چه؟
اگر سه نقطه روی یک خط باشند، مثلثی تشکیل نمیشود (مثلث دژنره). با این حال، فرمول همچنان نقطه میانگین ریاضی آن سه نقطه را روی همان خط میدهد.