مرکز ارتفاعی (Orthocenter) چیست؟
در هندسه اقلیدسی، مرکز ارتفاعی نقطهای است که سه ارتفاع یک مثلث همدیگر را قطع میکنند. ارتفاع مثلث، خطی است که از یک رأس آغاز شده و بر ضلع مقابل (یا امتداد آن) عمود میشود. نماد رایج برای این نقطه حرف H است.
نکته جالب اینجاست که مرکز ارتفاعی لزوماً درون مثلث قرار ندارد:
- در مثلثهای حاده (Acute)، مرکز ارتفاعی "داخل" مثلث است.
- در مثلثهای قائمه (Right)، مرکز ارتفاعی "روی رأس قائمه" منطبق است.
- در مثلثهای منفرجه (Obtuse)، مرکز ارتفاعی "خارج" از مثلث تشکیل میشود.
فرمول و روش محاسبه دستی
برای یافتن مختصات H، کافیست معادله خط دو ارتفاع را بنویسیم و دستگاه معادلات خطی حاصل را حل کنیم.
گام ۱: محاسبه شیب ضلع BC
گام ۲: شیب ارتفاع وارد بر BC
گام ۳: نوشتن معادله خط ارتفاع
چون ارتفاع از رأس A عبور میکند:
مثالهای کاربردی در ایران
مثلث قائمه (کنکور)
فرض کنید رئوس مثلث A(0,0)، B(4,0) و C(0,3) باشند. چون زاویه A قائمه است، مرکز ارتفاعی دقیقاً همان H(0,0) خواهد بود.
نقشهبرداری (تهران)
در نقشهبرداری یک زمین مثلثی در شمال تهران، مهندسان برای یافتن نقطه تعادل هیدرولیکی (در شرایط خاص شیب)، نیاز به محاسبه مرکز ارتفاعی دارند تا مسیر زهکشی را بهینه کنند.
طراحی سازه خرپا
در طراحی خرپاهای فولادی سوله، محل تلاقی نیروهای عمودی گاهی با مرکز ارتفاعی مدلسازی میشود تا پایداری گرهها در برابر گشتاورهای ناخواسته سنجیده شود.
خطاهای رایج محاسباتی
- ✕
اشتباه گرفتن با مرکز ثقل: مرکز ارتفاعی (H) با مرکز ثقل (G) که محل برخورد میانههاست، کاملاً متفاوت است.
- ✕
فراموش کردن علامت منفی در شیب: شیب ارتفاع همیشه قرینه و معکوس شیب ضلع است. بسیاری علامت منفی را فراموش میکنند.
- ✕
خطوط عمودی و افقی: وقتی یک ضلع افقی است، ارتفاع وارد بر آن عمودی است (شیب تعریف نشده). محاسبات دستی در این حالت اغلب به مشکل میخورد.
سوالات متداول
چگونه میتوان فهمید مرکز ارتفاعی خارج از مثلث است؟
اگر یکی از زوایای مثلث بزرگتر از ۹۰ درجه باشد (مثلث منفرجه)، مرکز ارتفاعی حتماً در خارج از محوطه مثلث قرار میگیرد.
آیا مرکز ارتفاعی میتواند روی یکی از اضلاع باشد؟
بله، اما فقط در صورتی که مثلث "تخت" باشد (مساحت صفر) یا دقیقاً روی رأس قائمه در مثلث قائمالزاویه.