معادله درجه دوم چیست؟
معادله درجه دوم (Quadratic Equation) یک چندجملهای جبری به فرم استانداردax² + bx + c = 0 است. در این معادله، x مجهول است و a, b, c اعداد حقیقی معلوم هستند (با شرط a ≠ 0). نمودار این تابع در صفحه مختصات یک سهمی (Parabola) است. نقاط برخورد این سهمی با محور xها، همان ریشههای معادله هستند.
فرمول کلی (روش دلتا)
ابتدا مبین (Discriminant) محاسبه میشود:
سپس ریشهها محاسبه میشوند:
تحلیل حالات دلتا (Δ)
Δ > 0 (دو ریشه)
سهمی محور xها را در دو نقطه قطع میکند. معادله دارای دو ریشه حقیقی متمایز است.
Δ = 0 (یک ریشه)
سهمی بر محور xها مماس است. معادله دارای یک ریشه حقیقی مضاعف (تکراری) است.
Δ < 0 (ریشه مختلط)
سهمی هیچ برخوردی با محور xها ندارد. ریشه حقیقی ندارد اما دو ریشه موهومی (Complex) دارد.
کاربردهای فیزیکی و واقعی
پرتاب موشک (حرکت پرتابی)
مسیر حرکت یک جسم پرتاب شده در هوا یک سهمی است. اگر ارتفاع h = -5t² + 20t + 10 باشد، حل این معادله زمان برخورد جسم به زمین (h=0) را نشان میدهد.
معماری و پلسازی
کابلهای پلهای معلق (مانند پل گلدن گیت) فرم سهمی دارند تا وزن را به طور یکنواخت توزیع کنند. مهندسان از معادله درجه دو برای طراحی دقیق انحنا استفاده میکنند.
اشتباهات رایج دانشآموزان
- !فراموش کردن علامت منفی در ضریب b (مثلا در x² - 5x، b برابر -5 است نه 5).
- !محاسبه غلط دلتا به دلیل عدم رعایت اولویتها (اول توان، بعد ضرب).
- !فراموش کردن مخرج 2a در فرمول نهایی (فقط بر 2 تقسیم میکنند نه 2a).
- !نوشتن «بدون جواب» برای دلتای منفی (جواب مختلط وجود دارد).
- !اعمال نکردن علامت منفی فرمول (-b) وقتی خود b منفی است (که باید مثبت شود).
سوالات متداول
آیا این ابزار معادله ناقص را هم حل میکند؟▼
بله، اگر b=0 یا c=0 باشد، ابزار همچنان معادله را به درستی حل میکند. فقط a نباید صفر باشد.
مجموع و حاصلضرب ریشهها (S و P) چیست؟▼
مجموع ریشهها S = -b/a و حاصلضرب آنها P = c/a است. این روابط بدون حل معادله قابل محاسبه هستند.
ریشه مختلط (i) چیست؟▼
i واحد موهومی است که برابر با ریشه دوم منفی یک (√-1) میباشد. در اعداد حقیقی ریشه منفی نداریم، اما در ریاضیات پیشرفته این اعداد کاربرد دارند.