تصاعد هندسی چیست؟
تصاعد هندسی (Geometric Progression یا GP) دنبالهای از اعداد است که در آن نسبت هر جمله به جمله قبلیاش مقداری ثابت است. این نسبت ثابت، قدر نسبت (Common Ratio) نامیده میشود و با نماد r نمایش داده میشود. بر خلاف تصاعد حسابی که رشدی خطی دارد، تصاعد هندسی نشاندهنده رشد یا زوال نمایی است. برای مثال، دنباله ۳، ۶، ۱۲، ۲۴ یک تصاعد هندسی با قدر نسبت ۲ است.
فرمولهای محاسباتی
۱. جمله عمومی (nام)
۲. مجموع جملات (Sn)
(برای r ≠ 1)
۳. مجموع بینهایت (S∞)
(فقط اگر |r| < 1)
مثالهای کاربردی
تکثیر باکتریها (زیستشناسی)
اگر یک باکتری هر ساعت به ۲ قسمت تقسیم شود، تعداد باکتریها در ساعت nام یک تصاعد هندسی با a=1 و r=2 است. در ساعت دهم، تعداد آنها برابر ۱۰۲۴ خواهد بود.
بهره مرکب (اقتصاد)
سرمایهگذاری با سود مرکب سالانه، نوعی تصاعد هندسی است. اگر ۱۰۰ میلیون تومان با سود ۲۰٪ بگذارید، هر سال سرمایه شما در ۱.۲ ضرب میشود (r=1.2).
نیمهعمر مواد رادیواکتیو (فیزیک)
مقدار ماده باقیمانده پس از هر نیمهعمر نصف میشود. این یک تصاعد هندسی کاهشی با r=0.5 است که در آن مجموع بینهایت معنی پیدا میکند.
اشتباهات رایج
- !اشتباه گرفتن تصاعد هندسی با حسابی (ضرب به جای جمع).
- !فراموش کردن پرانتزها هنگام محاسبه توان در ماشینحساب.
- !استفاده از فرمول S∞ برای وقتی که r بزرگتر از ۱ است (که نتیجه بینهایت میشود).
- !خطا در علامتها وقتی قدر نسبت (r) منفی است (جملات یکی در میان مثبت و منفی میشوند).
- !شروع شمارش n از صفر (معمولاً در کتب درسی n از ۱ شروع میشود).
سوالات متداول
اگر قدر نسبت (r) برابر ۱ باشد چه میشود؟▼
در این حالت تمام جملات با جمله اول برابرند (a, a, a, ...). مجموع جملات برابر است با Sn = n × a.
آیا قدر نسبت میتواند منفی باشد؟▼
بله، در این صورت علامت جملات به صورت یکدرمیان تغییر میکند (مثلا: ۲، -۴، ۸، -۱۶). به این دنباله، دنباله نوسانی میگویند.
چرا وقتی r > 1 است مجموع بینهایت نداریم؟▼
چون جملات مدام بزرگتر میشوند و مجموع آنها به سمت بینهایت میل میکند (واگرا میشود).
جمله صفرم (a0) چیست؟▼
در برخی متون (مثل علوم کامپیوتر)، دنباله از اندیس ۰ شروع میشود. در این ابزار طبق استاندارد کتب درسی ایران، شروع از a1 است.