توان (Exponentiation) چیست؟
در ریاضیات، توان عملیاتی است که به صورت xⁿ نوشته میشود. در این نماد، x را پایه (Base) و n را نما یا توان (Exponent) مینامند. اگر n یک عدد صحیح مثبت باشد، توان نشاندهنده تعداد دفعات ضرب پایه در خودش است.
قوانین مهم توان
۱. قانون ضرب
پایههای مساوی، توانها جمع میشوند.
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
۲. قانون تقسیم
پایههای مساوی، توانها کم میشوند.
aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
۳. قانون توان منفی
توان منفی عدد را معکوس میکند.
a⁻ⁿ = 1 / aⁿ
۴. قانون توان صفر
هر عدد (بجز صفر) به توان صفر برابر ۱ است.
a⁰ = 1
مثالهای کاربردی
2³
یعنی عدد ۲ را ۳ بار در خودش ضرب کنیم: 2 × 2 × 2 = 8.
10⁻²
توان منفی یعنی معکوس: 1 / 10² = 1 / 100 = 0.01.
9⁰·⁵
توان نیم (۰.۵) معادل جذر (ریشه دوم) است: √9 = 3.
اشتباهات رایج
- جمع به جای ضرب: اشتباه نکنید! 2⁵ برابر با ۱۰ (۲×۵) نیست، بلکه برابر با ۳۲ (۲×۲×۲×۲×۲) است.
- صفر به توان صفر: مقدار 0⁰ در ریاضیات "مبهم" (Indeterminate) است، هرچند در بسیاری از زبانهای برنامهنویسی و ترکیبیات برابر با ۱ در نظر گرفته میشود.
سوالات متداول (FAQ)
چرا عدد به توان صفر میشود یک؟▼
این را میتوان با قانون تقسیم ثابت کرد: aⁿ ÷ aⁿ = 1 و از طرفی aⁿ⁻ⁿ = a⁰. پس a⁰ = 1.
رشد نمایی چیست؟▼
وقتی متغیر در توان باشد (مثل 2ˣ)، مقدار تابع با سرعت بسیار زیادی رشد میکند. به این پدیده رشد نمایی یا تصاعدی میگویند.