دستگاه معادلات خطی چیست؟
دستگاه دو معادله دو مجهول، مجموعهای از دو معادله خطی است که در آن دو متغیر نامعلوم (معمولاً x و y) وجود دارد. حل این دستگاه به معنای یافتن زوج مرتبی (x, y) است که به طور همزمان در هر دو معادله صدق کند. هندسیوار، این نقطه محل برخورد دو خط در صفحه مختصات است.
روش کرامر (Cramer's Rule)
برای حل سریع این دستگاه از فرمولهای زیر استفاده میشود:
D = a₁b₂ - a₂b₁ (دترمینان ضرایب)
Dₓ = c₁b₂ - c₂b₁ (دترمینان ایکس)
Dᵧ = a₁c₂ - a₂c₁ (دترمینان وای)
x = Dₓ / D
y = Dᵧ / D
اگر D = 0 باشد، دو حالت پیش میآید: یا خطوط موازی هستند (جوابی وجود ندارد) یا خطوط بر هم منطبقاند (بینهایت جواب).
مثالهای واقعی و کاربردی
اقتصاد خرد
پیدا کردن نقطه تعادل بازار با برابر قرار دادن تابع عرضه و تقاضا. یک معادله برای عرضه و دیگری برای تقاضا؛ محل برخورد قیمت تعادلی است.
ترکیب مواد (شیمی)
مخلوط کردن دو محلول با غلظتهای مختلف برای رسیدن به حجم و غلظت نهایی خاص. یک معادله برای حجم کل و یکی برای جرم ماده حلشونده.
مسائل حرکت
حرکت قایق در جهت و خلاف جهت رودخانه. سرعت قایق و سرعت آب دو مجهول هستند که با داشتن زمان رفت و برگشت محاسبه میشوند.
اشتباهات رایج دانشآموزان
- عدم مرتبسازی معادلات به فرم استاندارد قبل از تشکیل ماتریس.
- اشتباه در علامت منفی هنگام محاسبه دترمینان (ضربدری).
- جایگذاری اشتباه ضرایب x و y (جابجا نوشتن a و b).
- تقسیم بر صفر زمانی که خطوط موازی هستند.
- فراموش کردن نوشتن مجموعه جواب به صورت زوج مرتب (x, y).