فرمول مجموع سری هندسی نامتناهی چیست؟

فرمول S∞ = a / (1 - r) است که در آن 'a' جمله اول و 'r' قدر نسبت دنباله میباشد.

چه زمانی میتوان از این فرمول استفاده کرد؟

تنها زمانی که قدر نسبت (r) بین ۱- و ۱ باشد (|r| < 1). در غیر این صورت سری واگراست و مجموع آن بینهایت میشود.

WordAbyss - محاسبه مجموع سری هندسی نامتناهی

مجموع سری هندسی نامتناهی (S∞)

شاید عجیب به نظر برسد که بتوانیم بی‌نهایت عدد را با هم جمع کنیم و به یک جواب محدود (غیر بی‌نهایت) برسیم! این اتفاق در سری‌های هندسی "همگرا" رخ می‌دهد. اگر قدر نسبت (r) عددی کسری بین ۱- و ۱ باشد، جملات دنباله به سرعت کوچک و کوچکتر می‌شوند و عملاً در نهایت به صفر می‌رسند. به همین دلیل مجموع آن‌ها به یک "حد" مشخص میل می‌کند.

فرمول و شرط همگرایی

فرمول حد مجموع

S = a / (1 - r)

a: جمله اول
r: قدر نسبت

شرط استفاده

این فرمول فقط زمانی معتبر است که قدر نسبت در بازه زیر باشد:

-1 < r < 1

اگر r برابر ۱ یا بیشتر باشد، سری واگراست و مجموع ندارد.

مثال مشهور: پارادوکس زنون

مسئله دونده و خط پایان

زنون استدلال می‌کرد که یک دونده برای رسیدن به خط پایان، اول باید نصف مسیر را طی کند (1/2)، سپس نصف باقی‌مانده (1/4)، سپس نصف آن (1/8) و ... . چون بی‌نهایت مرحله وجود دارد، او هرگز نباید به خط پایان برسد!

اما با ریاضیات سری هندسی می‌دانیم:1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1
این یعنی مجموع تمام این مراحل کوچک، دقیقاً برابر با طول کل مسیر (۱ واحد) است و دونده به مقصد می‌رسد.

سوالات متداول

چرا اگر r بزرگتر از ۱ باشد فرمول کار نمی‌کند؟▼

اگر r > 1 باشد (مثلاً ۲)، جملات دائماً بزرگتر می‌شوند (۱، ۲، ۴، ۸، ...). جمع کردن اعداد بزرگتر شونده هرگز متوقف نمی‌شود و حاصل به سمت مثبت بی‌نهایت می‌رود.

آیا این فرمول برای اعداد اعشاری متناوب کاربرد دارد؟▼

بله! مثلاً عدد ...0.333 در واقع سری 0.3 + 0.03 + 0.003 + ... است. اینجا a=0.3 و r=0.1 است. با فرمول داریم: 0.3 / (1 - 0.1) = 0.3 / 0.9 = 1/3.

تبلیغات:

در رشدWordAbyssسهیم باشید

مجموع سری هندسی نامتناهی

محاسبه حد مجموع (S∞) برای دنباله‌های همگرا با فرمول S = a / (1 - r)