مجموع زوایای داخلی چیست؟ (مبانی علمی)
مجموع زوایای داخلی یک چندضلعی (Polygon Interior Angle Sum)، حاصل جمع تمام زوایایی است که در داخل شکل و بین دو ضلع مجاور قرار دارند. در هندسه اقلیدسی، این مقدار همواره ثابت است و تنها به تعداد اضلاع بستگی دارد، نه به شکل یا اندازه اضلاع. این قانون هم برای چندضلعیهای منتظم (مثل مربع) و هم برای چندضلعیهای نامنتظم (محدب) صادق است.
فرمول ریاضی
فرمول محاسبه مجموع زوایای داخلی (S) بر اساس تعداد اضلاع (n) به صورت زیر است:
Sum = (n - 2) × 180°
S = (Sides - 2) × 180
- n: تعداد اضلاع (باید عدد صحیح و بزرگتر یا مساوی ۳ باشد)
- n - 2: تعداد مثلثهایی که میتوان درون شکل ایجاد کرد
- 180°: مجموع زوایای داخلی هر مثلث
مثالهای کلاسیک
مثلث (۳ ضلع)
سادهترین چندضلعی با ۳ ضلع.
(3 - 2) × 180 = 180°
چهارضلعی (۴ ضلع)
انواع مربع، مستطیل و لوزی.
(4 - 2) × 180 = 360°
6ششضلعی (۶ ضلع)
مانند لانه زنبور یا مهرهها.
(6 - 2) × 180 = 720°
خطاهای رایج آموزشی
- خلط با زوایای خارجی: مجموع زوایای خارجی تمام چندضلعیهای محدب همیشه ۳۶۰ درجه است، اما مجموع زوایای داخلی با افزایش اضلاع زیاد میشود.
- فراموش کردن کسر ۲: برخی دانشآموزان به اشتباه تعداد اضلاع را مستقیم در ۱۸۰ ضرب میکنند (n × 180) که غلط است. حتماً باید ۲ واحد کم شود.
- کاربرد برای مقعر: این فرمول برای چندضلعیهای مقعر (که زاویه بیش از ۱۸۰ دارند) با احتیاط قابل استفاده است اما معمولاً در کتب درسی برای چندضلعیهای محدب (Convex) تعریف میشود.
سوالات متداول
آیا این فرمول برای ۵ ضلعی هم کار میکند؟
بله، برای ۵ ضلعی: (5 - 2) × 180 = 540 درجه.
اگر چندضلعی نامنتظم باشد چه؟
فرقی نمیکند. تا زمانی که اضلاع یکدیگر را قطع نکنند (شکل ساده باشد)، مجموع زوایا همیشه از همین فرمول پیروی میکند، حتی اگر اضلاع نابرابر باشند.
چگونه اندازه «یک» زاویه را پیدا کنیم؟
فقط اگر چندضلعی منتظم باشد (همه اضلاع و زوایا برابر باشند)، میتوانید مجموع کل را بر تعداد اضلاع (n) تقسیم کنید تا اندازه یک زاویه بدست آید.