توروس (Torus) چیست؟
در هندسه فضایی، توروس (که در زبان عامیانه به آن شکل دونات یا حلقه میگویند) یک رویه دورانی است که از چرخش یک دایره به دور یک محور در همان صفحه ایجاد میشود. این محور نباید دایره را قطع کند. اگر دایرهای به شعاع r دور محوری در فاصله R بچرخد، حجمی که جاروب میکند یک توروس کامل است. این شکل هندسی در صنایع مختلفی از جمله مهندسی مکانیک (برای طراحی O-ringها)، فیزیک پلاسما (دستگاههای توکامک) و حتی توپولوژی کاربرد اساسی دارد.
فرمول محاسبه حجم توروس
برای محاسبه حجم این شکل، از قضیه پاپوس-گولدین (Pappus's Centroid Theorem) استفاده میکنیم. طبق این قضیه، حجم جسم دورانی برابر است با حاصلضرب مساحت سطح مقطع در محیط دایرهای که مرکز هندسی آن طی میکند.
- Vحجم کل توروس (واحد مکعب)
- πعدد پی (تقریباً 3.14159)
- Rشعاع بزرگ (فاصله مرکز تا مرکز لوله)
- rشعاع کوچک (شعاع دایره مولد)
مثالهای کاربردی در دنیای واقعی
1. واشر O-ring صنعتی
یک اورینگ لاستیکی با قطر حلقه 50 میلیمتر (پس R=25) و ضخامت طناب 4 میلیمتر (پس r=2). محاسبه حجم دقیق آن برای تخمین میزان مواد اولیه پلیمری در تولید انبوه حیاتی است.
2. تیوپ داخلی تایر
فرض کنید یک تیوپ دوچرخه دارای شعاع اصلی 30 سانتیمتر و شعاع لوله 2 سانتیمتر است. با استفاده از این ابزار میتوان حجم هوای لازم برای باد کردن کامل آن را محاسبه کرد.
3. معماری و طراحی
در طراحی المانهای شهری مدرن در تهران، گاهی از سازههای فولادی توروسی شکل استفاده میشود. محاسبه وزن سازه نیازمند دانستن حجم دقیق متریال مصرفی است.
اشتباهات رایج در محاسبه
- اشتباه گرفتن قطر با شعاع: بسیاری از کاربران قطر کلی را به جای شعاع وارد میکنند. همیشه نصف قطر را به عنوان شعاع وارد کنید.
- عدم تطابق واحدها: اگر شعاع بزرگ به متر و شعاع کوچک به سانتیمتر باشد، نتیجه غلط خواهد بود. تمام ورودیها باید یک واحد یکسان داشته باشند.
- جابجا گرفتن R و r: شعاع بزرگ (R) همیشه باید از شعاع کوچک (r) بزرگتر باشد تا یک توروس استاندارد توخالی (Ring Torus) شکل بگیرد.
- نادیده گرفتن π²: در محاسبه دستی، برخی افراد توان دوم عدد پی را فراموش میکنند که تأثیر زیادی در نتیجه نهایی دارد.