کسینوس هیپربولیک و "منحنی زنجیروار"
تابع cosh (تلفظ میشود "کاش" یا "کوش") زوجِ هذلولی تابع کسینوس است. این تابع یکی از مهمترین توابع در فیزیک و مهندسی است زیرا شکل هندسی آن دقیقاً فرمی است که یک طناب یا کابل معلق تحت وزن خود میگیرد. به این شکل هندسی کاتنری (Catenary) یا منحنی زنجیروار میگویند.
بسیاری از معماران بزرگ (مانند آنتونی گائودی) از شکل معکوس تابع cosh برای طراحی طاقها و گنبدها استفاده کردهاند، زیرا این شکل بهترین مقاومت را در برابر نیروی گرانش دارد و تنشهای کششی را به حداقل میرساند.
فرمول ریاضی
فرمول cosh میانگین حسابی دو تابع نمایی رشدکننده و میراشونده است:
ویژگیهای منحصر به فرد
۱. حداقل مقدار برابر ۱
برخلاف کسینوس معمولی که بین ۱- و ۱ نوسان میکند، کسینوس هیپربولیک هرگز کمتر از ۱ نمیشود. کمترین مقدار آن در x=0 رخ میدهد که برابر ۱ است.
cosh(0) = (1 + 1)/2 = 1
۲. تقارن زوج (Even Function)
نمودار این تابع نسبت به محور y کاملاً متقارن است. یعنی cosh(-x) = cosh(x). اگر مقدار منفی ۵ را وارد کنید، نتیجه دقیقاً برابر با مثبت ۵ خواهد بود.
۳. تفاوت با سهمی (Parabola)
در نگاه اول شکل کابل معلق شبیه سهمی (مانند y=x²) به نظر میرسد، اما از نظر ریاضی این دو متفاوتند. سهمی در فواصل دور با سرعت چندجملهای رشد میکند، اما cosh با سرعت نمایی (Exponential) اوج میگیرد که بسیار سریعتر است.
اشتباهات رایج
- استفاده به جای کسینوس: این تابع هیچ ربطی به زاویه مثلث و دایره ندارد. هرگز برای محاسبه اضلاع مثلث از آن استفاده نکنید.
- علامت وسط: در فرمول cosh علامت وسط مثبت است (eˣ + e⁻ˣ)، در حالی که در sinh علامت منفی است.
- انتظار مقدار منفی: خروجی این تابع هرگز منفی نمیشود. اگر در محاسبات فیزیکی به cosh منفی رسیدید، احتمالاً جایی اشتباه کردهاید.