دترمینان (Determinant) چیست؟
دترمینان یک تابع خاص است که تنها روی ماتریسهای مربعی (تعداد سطر و ستون برابر) تعریف میشود. خروجی این تابع یک عدد حقیقی است که اطلاعات بسیار مهمی راجع به ماتریس به ما میدهد. از نظر هندسی، قدر مطلق دترمینان یک ماتریس 2×2 برابر با مساحت متوازیالاضلاعی است که توسط دو بردار ستونی ماتریس ساخته میشود. در ابعاد سه بعدی، این عدد حجم متوازیالسطوح را نشان میدهد.
فرمولهای محاسبه دستی
ماتریس 2×2
| A | = ad - bc
حاصلضرب عناصر قطر اصلی منهای حاصلضرب عناصر قطر فرعی. سادهترین حالت دترمینان.
ماتریس 3×3 (روش ساروس)
| A | = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
بسط بر اساس سطر اول. این روش برای ابعاد بالاتر بسیار پیچیده میشود و معمولاً از روشهای کاهش سطری یا بسط لاپلاس استفاده میشود.
کاربردهای مهم
- معکوسپذیری: یک ماتریس تنها زمانی وارونپذیر (Invertible) است که دترمینان آن مخالف صفر باشد.
- قانون کرامر (Cramer's Rule): روشی برای حل دستگاههای معادلات خطی که در آن جوابها مستقیماً با تقسیم دترمینانها به دست میآیند.
- مقادیر ویژه (Eigenvalues): دترمینان حاصلضرب مقادیر ویژه ماتریس است و در معادله مشخصه det(A - λI) = 0 نقش کلیدی دارد.
سوالات متداول
چرا دترمینان فقط برای ماتریس مربعی است؟▼
تعریف ریاضی دترمینان بر اساس جایگشتهای ستونها و سطرها بنا شده که نیاز به تقارن ابعاد (n×n) دارد. برای ماتریسهای مستطیلی مفاهیم دیگری مثل مقادیر تکین (Singular Values) استفاده میشود.
ماتریس منفرد (Singular) چیست؟▼
ماتریسی که دترمینان آن صفر باشد. این ماتریس معکوس ندارد و اگر ضرایب یک دستگاه معادلات باشد، آن دستگاه یا جواب ندارد یا بینهایت جواب دارد.