مثلث خیام-پاسکال چیست؟
این مثلث یک آرایش هندسی از ضرایب دوجملهای است که در غرب به نام بلز پاسکال (ریاضیدان فرانسوی) و در ایران به نام حکیم عمر خیام (ریاضیدان و شاعر ایرانی) شناخته میشود. خیام قرنها پیش از پاسکال به ویژگیهای این مثلث برای استخراج ریشه اعداد پی برده بود. هر عدد در این مثلث، مجموع دو عدد بالایی خود است.
ویژگیهای شگفتانگیز
مجموع سطرها (توانهای ۲)
مجموع اعداد سطر nام همواره برابر با 2ⁿ است.
مثال: سطر ۳ (1, 3, 3, 1) ← جمع = 8 = 2³
توانهای ۱۱
اگر ارقام هر سطر را کنار هم بگذارید، توانهای عدد ۱۱ ساخته میشود (تا سطر ۴).
مثال: سطر ۲ (1, 2, 1) ← 121 = 11²
کاربرد در بسط دوجملهای
اعداد هر سطر، ضرایب بسط (a + b)ⁿ هستند.
n=0: 1
n=1: 1a + 1b
n=2: 1a² + 2ab + 1b²
n=3: 1a³ + 3a²b + 3ab² + 1b³
سوالات متداول
ارتباط مثلث پاسکال با ترکیبیات چیست؟▼
عدد kام در سطر nام دقیقاً برابر با «ترکیب k از n» یا همان C(n, k) است. این مثلث در واقع جدول آماده مقادیر nCr است.
مثلث سرپینسکی چیست؟▼
اگر در مثلث پاسکال اعداد فرد را سیاه و اعداد زوج را سفید کنید، یک الگوی فراکتالی زیبا به نام مثلث سرپینسکی پدیدار میشود.