قطر چندضلعی چیست؟ (تعریف هندسی)
در هندسه، قطر (Diagonal) پارهخطی است که دو رأس غیرمجاور یک چندضلعی را به هم وصل میکند. اگر دو رأس مجاور باشند، خط واصل بین آنها «ضلع» نامیده میشود، نه قطر. بنابراین، برای رسم یک قطر، باید از یک رأس شروع کرده و با پرش از روی رأسهای همسایه، به رأسهای دیگر متصل شوید.
فرمول و اثبات ریاضی
فرمول محاسبه تعداد کل قطرهای یک چندضلعی (d) با n ضلع به صورت زیر است:
d = n(n - 3) / 2
Diagonals = Sides × (Sides - 3) ÷ 2
اثبات ساده:
از هر رأس میتوان به n-3 رأس دیگر قطر کشید (خود رأس و دو همسایهاش حساب نمیشوند). چون n رأس داریم، مجموعاً n(n-3) خط میتوان رسم کرد. اما چون هر قطر دو بار شمرده شده (یک بار از A به B و یک بار از B به A)، باید کل را بر ۲ تقسیم کنیم.
مثالهای کلاسیک
مثلث (۳ ضلع)
در مثلث همه رأسها مجاورند.
3(3-3)/2 = 0بدون قطر
مربع (۴ ضلع)
دو قطر اصلی ضربدری.
4(4-3)/2 = 2
هشتضلعی (۸ ضلع)
تعداد قطرهای یک هشتضلعی منتظم.
8(5)/2 = 20
اشتباهات رایج
- فراموش کردن تقسیم بر ۲: رایجترین اشتباه! اگر بر ۲ تقسیم نکنید، هر قطر را دو بار شمردهاید.
- شمارش اضلاع به عنوان قطر: برخی به جای کسر کردن ۳ از n، عدد ۱ را کسر میکنند که باعث میشود اضلاع هم شمرده شوند.
- ترسیم دستی: برای شکلهای بالای ۶ ضلع، شمارش دستی قطرها بسیار گیجکننده و همراه با خطاست. همیشه از فرمول استفاده کنید.
سوالات متداول
آیا چندضلعی مقعر (توقالی) هم همین تعداد قطر دارد؟
بله، فرمول برای تمام چندضلعیهای ساده (چه محدب و چه مقعر) صادق است. البته در چندضلعیهای مقعر، برخی قطرها از بیرون شکل عبور میکنند.
کدام شکل تعداد قطر و ضلع برابری دارد؟
پنجضلعی. اگر در فرمول n=5 قرار دهید، تعداد قطرها برابر با ۵ میشود که با تعداد اضلاع برابر است.
تعداد قطر از «یک» رأس چقدر است؟
تعداد قطرهایی که فقط از یک رأس خاص میتوان رسم کرد برابر با n - 3 است.