عدد اول چیست؟ (مبانی علمی)
در نظریه اعداد، عدد اول (Prime Number) عددی طبیعی بزرگتر از ۱ است که نتوان آن را به صورت ضرب دو عدد طبیعی کوچکتر از خود نوشت. به بیان سادهتر، عدد اول عددی است که تنها دو مقسومعلیه متمایز دارد: عدد ۱ و خودش. در مقابل، اعدادی که اول نباشند (و بزرگتر از ۱ باشند) را اعداد مرکب مینامند. عدد ۱ طبق توافق ریاضیدانان نه اول است و نه مرکب، زیرا تعریف بنیادی تجزیه یکتا را نقض میکند.
فرمول و روش محاسبه دستی
برای تشخیص اینکه آیا عدد n اول است یا خیر، نیازی نیست بخشپذیری آن را بر تمام اعداد کوچکتر از خودش بررسی کنید. کافی است بخشپذیری آن را بر تمام اعداد اول کوچکتر یا مساوی جذر آن (√n) تست کنید.
Algorithm: Trial Division
1. If n ≤ 1 return "Neither"
2. Loop i from 2 to ⌊√n⌋:
If n % i == 0 return "Composite"
3. Return "Prime"
مثالهای واقعی و کاربردی
مثال ۱: عدد کوچک
عدد ۲۹ را در نظر بگیرید. جذر تقریبی آن ۵.۳ است. اعداد اول کمتر از ۵ عبارتند از ۲، ۳ و ۵. چون ۲۹ بر هیچکدام بخشپذیر نیست، پس اول است.
مثال ۲: رمزنگاری
در الگوریتمهای بانکی (مانند RSA)، از ضرب دو عدد اول بسیار بزرگ برای تولید کلید عمومی استفاده میشود. امنیت کارتهای بانکی در ایران نیز بر همین اصل استوار است.
مثال ۳: عدد مرکب
عدد ۹۱ اغلب به اشتباه اول تصور میشود. اما با بررسی جذر آن (حدود ۹.۵)، و تست تقسیم بر ۷، میبینیم که 91 = 7 × 13 است.
اشتباهات رایج در تشخیص
- عدد ۱ اول نیست: بسیاری از دانشآموزان به اشتباه ۱ را اول میدانند. ۱ عنصر خنثی در ضرب است.
- اعداد زوج: به جز عدد ۲، هیچ عدد زوجی اول نیست. (چون بر ۲ بخشپذیرند).
- اعداد منفی: مفهوم عدد اول تنها برای اعداد طبیعی (مثبت) تعریف شده است.
- قضاوت بر اساس ظاهر: اعدادی که به ۱، ۳، ۷ یا ۹ ختم میشوند لزوماً اول نیستند (مثلاً ۵۱ که بر ۳ بخشپذیر است).