مفهوم فاصله دو نقطه در صفحه (Distance)
در هندسه تحلیلی، فاصله بین دو نقطه نشاندهنده طول کوتاهترین مسیر مستقیم (پارهخط) است که آن دو نقطه را به هم وصل میکند. این مفهوم بر اساس هندسه اقلیدسی بنا شده و به آن فاصله اقلیدسی (Euclidean Distance) نیز میگویند.
فرمول و اثبات (فیثاغورس)
برای محاسبه فاصله، ما عملاً یک مثلث قائمالزاویه میسازیم که وتر آن فاصله مورد نظر است. طبق قضیه فیثاغورس (a² + b² = c²)، فرمول فاصله به صورت زیر است:
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
که در آن (x₂ - x₁) همان ضلع افقی و (y₂ - y₁) ضلع عمودی مثلث است.
مثالهای دنیای واقعی
توسعه بازیهای رایانهای
در بازیها، برای تشخیص اینکه آیا کاراکتر به دشمن نزدیک شده است (تشخیص برخورد یا محدوده دید)، موتور بازی دائماً فاصله بین مختصات آنها را محاسبه میکند.
نقشهبرداری و GPS
محاسبه فاصله هوایی (مستقیم) بین دو موقعیت جغرافیایی روی نقشه تخت، با استفاده از همین فرمول انجام میشود.
اشتباهات رایج
- فراموش کردن علامت توان دو (نتیجه منفی میشود که زیر رادیکال غیرمجاز است).
- اشتباه در تفریق اعداد منفی (مثلاً 2 - (-3) باید بشود 5، نه -1).
- جمع کردن x و y با هم (باید اختلاف x ها جدا و اختلاف y ها جدا محاسبه شود).
سوالات متداول
آیا جابجایی نقاط (x1 با x2) در نتیجه تاثیر دارد؟▼
خیر. چون حاصل تفریق به توان ۲ میرسد، علامت منفی از بین میرود. بنابراین (x2 - x1)² با (x1 - x2)² برابر است.
فاصله منهتن (Manhattan Distance) چیست؟▼
در فاصله منهتن، شما نمیتوانید مورب حرکت کنید (مثل حرکت در خیابانهای شطرنجی شهر). فرمول آن |x2-x1| + |y2-y1| است و همیشه بزرگتر یا مساوی فاصله اقلیدسی است.