دایره محاطی چیست؟ (مبانی علمی)
دایره محاطی (Incircle) بزرگترین دایرهای است که میتوان درون یک مثلث رسم کرد، به طوری که بر هر سه ضلع مثلث مماس باشد. شعاع این دایره را "Inradius" مینامند و معمولاً با حرف r نشان داده میشود. مرکز این دایره (Incenter) دقیقاً در محل برخورد سه نیمساز داخلی زوایای مثلث قرار دارد و فاصلهاش تا تمام اضلاع برابر است.
فرمول ریاضی
سادهترین و کاربردیترین رابطه برای محاسبه شعاع دایره محاطی، استفاده از مساحت و نیممحیط است:
r = Area / s
Area = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
s = (a + b + c) / 2
s = (a + b + c) / 2
- r: شعاع دایره محاطی
- Area: مساحت مثلث (معمولاً با فرمول هرون محاسبه میشود)
- s: نیممحیط مثلث (نصف مجموع اضلاع)
مثالهای کاربردی
۱. مثلث طلایی (۳-۴-۵)
یک مثلث قائمالزاویه با اضلاع ۳، ۴ و ۵.
s = 6, Area = 6
r = 6 / 6 = 1
۲. مثلث متساویالاضلاع
برای مثلثی با ضلع ۱۰:
s = 15, Area ≈ 43.3
r ≈ 43.3 / 15 ≈ 2.88
۳. طراحی قطعات مکانیکی
محاسبه بزرگترین سوراخ دایرهای که میتوان وسط یک قطعه مثلثی شکل دریل کرد بدون اینکه لبهها نازک شوند.
اشتباهات رایج
- خلط با شعاع محیطی (R): شعاع دایره محیطی (که از رئوس میگذرد) با فرمول R = abc/4Area محاسبه میشود و معمولاً بزرگتر از r است.
- استفاده از محیط کامل: در فرمول r = A/s، مخرج کسر نیممحیط است، نه محیط کامل.
سوالات متداول
آیا این فرمول برای همه مثلثها کار میکند؟
بله، این فرمول کلی است و برای انواع مثلثهای قائمالزاویه، متساویالساقین و مختلفالاضلاع صادق است.
چرا برای برخی ورودیها خطا میدهد؟
چون هر سه عددی نمیتوانند اضلاع یک مثلث باشند. طبق قانون نامساوی مثلث، مجموع هر دو ضلع باید از ضلع سوم بزرگتر باشد (مثلاً ۱، ۲ و ۱۰ مثلث نمیسازند).