معادله درجه دوم چیست؟
معادله درجه دوم (Quadratic Equation) یک چندجملهای جبری است که در آن بالاترین توان متغیر برابر با ۲ میباشد. فرم استاندارد این معادلات به صورت ax² + bx + c = 0 است که در آن a ≠ 0 میباشد. نمودار این معادلات در صفحه مختصات به شکل یک منحنی به نام "سهمی" (Parabola) است. نقاط برخورد این سهمی با محور افقی (x)، همان ریشههای معادله هستند.
روش حل با فرمول کلی (روش دلتا)
مطمئنترین روش برای حل هر نوع معادله درجه دو، استفاده از "مبین معادله" یا همان دلتا (Δ) است.
Step 1:Δ = b² - 4ac
Step 2:x = (-b ± √Δ) / 2a
مثالهای واقعی (فیزیک و هندسه)
۱. پرتاب توپ (فیزیک)
معادله حرکت یک توپ به صورت -5t² + 20t = 0 است. چه زمانی توپ به زمین (ارتفاع صفر) برمیگردد؟
t(20 - 5t) = 0 → t=0, t=4s
۲. مساحت زمین (هندسه)
طول یک مستطیل ۲ متر بیشتر از عرض آن است. اگر مساحت ۴۸ متر باشد، ابعاد چقدر است؟ (x * (x+2) = 48)
x² + 2x - 48 = 0 → x=6
اشتباهات متداول دانشآموزان
- علامت منفی در b: در فرمول
-b، اگر خود b منفی باشد، حاصل مثبت میشود (مثلا منفیِ منفی ۳ میشود ۳). - مخرج کسر: کل عبارت صورت باید بر
2aتقسیم شود، نه فقط رادیکال. - تشخیص a, b, c: اگر معادله مرتب نباشد (مثلا
x² = 5x - 2)، ابتدا باید همه را به یک طرف ببرید (x² - 5x + 2 = 0).
سوالات متداول
ریشه مضاعف یعنی چه؟
زمانی که دلتا برابر صفر شود، هر دو ریشه معادله یکسان میشوند. در نمودار، این یعنی سهمی بر محور x مماس شده است.
آیا a میتواند صفر باشد؟
خیر. اگر a صفر باشد، جمله توان دو حذف میشود و معادله تبدیل به "معادله خطی" (درجه اول) میگردد.