لگاریتم طبیعی (ln) چیست؟
لگاریتم طبیعی یا Natural Logarithm، لگاریتمی است که پایه آن عدد گنگ و معروف ریاضی یعنی e (عدد اویلر) باشد. مقدار تقریبی این عدد برابر با 2.71828 است. در ریاضیات عالی و مهندسی، تابع لگاریتم طبیعی را معمولاً با نماد ln(x) نمایش میدهند. این تابع دقیقاً معکوس تابع نمایی e^x است. اهمیت این تابع در توصیف پدیدههای طبیعی مانند رشد جمعیت، زوال هستهای و بهره مرکب بانکی غیرقابل انکار است.
فرمول ریاضی و روابط بنیادین
رابطه اصلی بین لگاریتم طبیعی و فرم نمایی به صورت زیر تعریف میشود:
تعریف لگاریتم طبیعی
ln(x) = y ⟺ ey = x
قانون تغییر مبنا
ln(x) = log10(x) / log10(e)
مثالهای کاربردی در دنیای واقعی
۱. محاسبه زمان دو برابر شدن سرمایه (Rule of 72)
اگر شما ۱۰ میلیون تومان در حسابی با سود مرکب ۲۰٪ داشته باشید، زمان دقیق برای دو برابر شدن پول از طریق فرمول ln(2) / ln(1.20) محاسبه میشود.
۲. فیزیک: نیمهعمر مواد رادیواکتیو
در فیزیک هستهای، برای محاسبه زمان زوال یک ماده، از لگاریتم طبیعی استفاده میشود. ثابت نرخ زوال ($\lambda$) مستقیماً با ln(2) رابطه دارد.
خطاهای رایج محاسباتی
- ورودی صفر یا منفی: لگاریتم اعداد منفی و صفر در مجموعه اعداد حقیقی تعریف نشده است (Undefined).
- اشتباه گرفتن با Log: بسیاری از ماشینحسابهای ساده دکمه Log را برای پایه ۱۰ استفاده میکنند. برای پایه e حتما باید از دکمه ln استفاده شود.
- فرض خطی بودن: ln(a + b) برابر با ln(a) + ln(b) نیست! (این خاصیت ضرب است).
سوالات متداول (FAQ)
مقدار ln(e) چند است؟▼
از آنجا که پایه لگاریتم طبیعی خود عدد e است، پس ln(e) = 1 میباشد.
چرا لگاریتم عدد ۱ برابر صفر است؟▼
زیرا هر عددی (به جز صفر) به توان صفر برسد برابر با ۱ میشود. بنابراین e^0 = 1 و در نتیجه ln(1) = 0.
کاربرد دکمه ln در ماشین حساب چیست؟▼
این دکمه برای تبدیل رشد نمایی به مقیاس خطی، حل معادلات زمانی و مسائل مهندسی برق استفاده میشود.