تقسیم ترکیبی (Synthetic Division) چیست؟
تقسیم ترکیبی یک روش میانبر و الگوریتمی برای تقسیم چندجملهایها است. این روش زمانی کاربرد دارد که بخواهیم یک چندجملهای درجه بالا را بر یک دوجملهای خطی به فرم x - c تقسیم کنیم. این روش فضای کمتری اشغال میکند و احتمال خطای محاسباتی را نسبت به تقسیم طولانی (Long Division) کاهش میدهد.
الگوریتم گامبهگام
- نوشتن ضرایب: تمام ضرایب مقسوم را بنویسید. اگر توانی وجود ندارد (مثلاً x^2 نداریم)، جای آن صفر بگذارید.
- پایین آوردن اولین عدد: اولین ضریب (با بالاترین توان) را عیناً به سطر سوم منتقل کنید.
- ضرب و جمع: عدد پایین آورده شده را در ریشه مقسومعلیه (c) ضرب کنید و حاصل را زیر ضریب بعدی بنویسید. سپس این دو عدد را با هم جمع کنید.
- تکرار: این فرآیند را تا آخرین ضریب ادامه دهید. آخرین عدد بدست آمده، باقیمانده است.
کاربردها
یافتن ریشهها
اگر باقیمانده صفر شود، یعنی عدد c ریشه چندجملهای است. این روش اساس آزمون ریشه گویا برای حل معادلات درجه بالا است.
محاسبه مقدار تابع
طبق قضیه باقیمانده، مقدار P(c) دقیقاً برابر با باقیمانده تقسیم P(x) بر (x-c) است. این روش (هورنر) اغلب سریعتر از جایگذاری مستقیم است.
سوالات متداول
آیا میتوان بر (2x - 4) تقسیم کرد؟▼
تقسیم ترکیبی استاندارد برای ضریب x برابر با ۱ طراحی شده است. اگر مقسومعلیه 2x-4 باشد، ابتدا باید آن را به 2(x-2) تبدیل کنید، تقسیم ترکیبی را با c=2 انجام دهید و در نهایت خارجقسمت را بر ۲ تقسیم کنید.
اگر باقیمانده صفر نباشد چه؟▼
اگر باقیمانده صفر نباشد، یعنی مقسومعلیه عامل مقسوم نیست. فرمول کلی به صورت P(x) = Q(x)(x-c) + R نوشته میشود.