قضیه نابرابری مثلثی چیست؟
در هندسه اقلیدسی، قضیه نابرابری مثلثی (Triangle Inequality Theorem) یک اصل بنیادین است که میگوید: "در هر مثلث، طول هر ضلع باید از مجموع طول دو ضلع دیگر کمتر باشد."
به زبان سادهتر، کوتاهترین فاصله بین دو نقطه خط راست است. اگر بخواهیم از نقطه A به B برویم (ضلع c)، مسیری که از نقطه سوم C میگذرد (مسیر a + b) قطعاً باید طولانیتر باشد. اگر مجموع دو ضلع دقیقاً برابر ضلع سوم باشد، مثلث "تخت" شده و تبدیل به یک خط میشود. اگر مجموع کمتر باشد، اضلاع اصلاً به هم نمیرسند.
شروط ریاضی (هر سه باید برقرار باشند)
برای سه عدد $a$، $b$ و $c$:
a + b > c
a + c > b
b + c > a
نکته تستی: برای سرعت بیشتر، کافیست چک کنید که مجموع دو ضلع کوچکتر، از ضلع بزرگتر بیشتر باشد. اگر این شرط برقرار باشد، دو شرط دیگر خودبهخود برقرارند.
مثالهای مهم
مثال ۱: اضلاع ۳، ۴، ۵
- 3 + 4 = 7 > 5 (OK)
- 3 + 5 = 8 > 4 (OK)
- 4 + 5 = 9 > 3 (OK)
مثلث تشکیل میشود.
مثال ۲: اضلاع ۲، ۳، ۶
- 2 + 3 = 5 ≯ 6 (Fail)
مثلث تشکیل نمیشود (ضلع ۶ خیلی بزرگ است).
سوالات متداول (FAQ)
آیا با اعداد اعشاری هم میتوان چک کرد؟▼
بله، این قانون برای تمامی اعداد حقیقی مثبت صادق است.
مثلث تباهیده (Degenerate) چیست؟▼
اگر مجموع دو ضلع دقیقاً برابر ضلع سوم باشد (مثلاً ۱، ۲ و ۳)، رئوس مثلث روی یک خط راست قرار میگیرند و مساحت مثلث صفر میشود. به این حالت مثلث تباهیده میگویند که در هندسه مقدماتی معمولاً مثلث محسوب نمیشود.