جذر چیست و چگونه محاسبه میشود؟
جذر (Square Root) یا ریشه دوم یک عدد، مقداری است که اگر آن را در خودش ضرب کنیم، عدد اولیه به دست میآید. به زبان ساده، عملیات جذر گرفتن دقیقاً عکس عملیات به توان ۲ رساندن است. نماد ریاضی جذر √ است که به آن رادیکال میگویند.
تاریخچه کوتاه
مفهوم ریشه دوم قدمتی به اندازه تمدن بابل (۱۷۰۰ پیش از میلاد) دارد. لوحهای گلی باستانی نشان میدهند که بابلیها روشهای دقیقی برای تخمین جذر عدد ۲ داشتند. بعدها یونانیان باستان با کشف اینکه جذر ۲ نمیتواند به صورت کسری از اعداد صحیح نوشته شود (عدد گنگ)، با یکی از بزرگترین چالشهای فلسفی ریاضیات روبرو شدند.
روشهای محاسبه دستی
امروزه ماشینحسابها جذر را در کسری از ثانیه محاسبه میکنند، اما دانستن منطق آن خالی از لطف نیست. یکی از مشهورترین روشها، روش نیوتن-رافسون است که یک روش تکرارشونده برای تخمین است.
Newton's Method (Formula)
xn+1 = 0.5 * (xn + S / xn)
Where 'S' is the number we want the root of, and 'x' is our guess.
مراحل گام به گام (مثال برای جذر ۱۰):
- یک حدس اولیه بزنید (مثلاً ۳، چون ۳×۳ میشود ۹).
- عدد اصلی (۱۰) را بر حدس خود (۳) تقسیم کنید: 10 / 3 = 3.33
- میانگین حدس اولیه و نتیجه تقسیم را بگیرید: (3 + 3.33) / 2 = 3.166
- این عدد جدید (۳.۱۶۶) حدس بعدی شماست. مراحل را تکرار کنید تا به دقت مورد نظر برسید.
سوالات متداول
تفاوت جذر و ریشه دوم چیست؟
در اصطلاح عامیانه یکسان هستند. اما دقیقتر این است که هر عدد مثبت دو ریشه دوم دارد (یکی مثبت و یکی منفی)، اما "جذر" معمولاً به ریشه اصلی (مثبت) اشاره دارد.
جذر اعداد منفی چگونه است؟
در ریاضیات دبیرستانی میگوییم وجود ندارد. در ریاضیات پیشرفته دانشگاهی، جذر عدد منفی وارد بحث “اعداد مختلط" (Complex Numbers) میشود که با حرف i نمایش داده میشود.