تابع سینک (Sinc) چیست؟
تابع Sinc که مخفف Sinus Cardinalis (سینوس اصلی) است، یکی از توابع پرکاربرد در ریاضیات، فیزیک و مهندسی برق است. این تابع نقش کلیدی در تئوری نمونهبرداری (Sampling Theory)، تبدیل فوریه و فیلترهای دیجیتال ایفا میکند. شکل موج آن مانند یک موج سینوسی میرا است که دامنه آن با دور شدن از مبدا کاهش مییابد.
فرمول ریاضی (غیر نرمالشده)
تعریف ریاضی استاندارد این تابع به صورت زیر است:
مثالهای رفتاری تابع
۱. نقطه ابهام (x=0)
اگر مقدار صفر را در فرمول بگذاریم به کسر 0/0 میرسیم. اما طبق قاعده هوپیتال، حد این تابع در صفر برابر با ۱ است. این نقطه اوج (Peak) نمودار سینک است.
۲. عبور از صفر (x=π)
در نقطه x = 3.1415... (عدد پی)، مقدار سینوس صفر است، بنابراین کل تابع صفر میشود. تابع سینک در تمام مضارب صحیح پی (π, 2π, 3π...) به جز صفر، برابر با صفر است.
۳. میرا شدن در بینهایت
هر چه مقدار x بزرگتر شود، مخرج کسر (x) بزرگتر شده و مقدار کل تابع به صفر میل میکند. این یعنی نوسانات موج سینک به مرور زمان ضعیف و ضعیفتر میشوند.
اشتباهات رایج
- استفاده از درجه به جای رادیان: در تعاریف ریاضی توابع مثلثاتی، ورودی به طور پیشفرض رادیان است. محاسبه sinc(180) به معنی سینک ۱۸۰ رادیان است، نه ۱۸۰ درجه.
- تعریف مهندسی vs ریاضی: مهندسین مخابرات معمولاً از "سینک نرمالشده" استفاده میکنند که فرمول آن sin(πx)/(πx) است. دقت کنید که این ابزار نسخه ریاضی (غیر نرمالشده) را محاسبه میکند.
- خطای تقسیم بر صفر: در برنامهنویسی ساده، وارد کردن صفر ممکن است باعث خطای NaN شود. باید همیشه شرط if x==0 return 1 را لحاظ کرد.