دایره محیطی چیست؟ (مبانی علمی)
دایره محیطی (Circumcircle) دایرهای منحصر به فرد است که از هر سه رأس مثلث عبور میکند. تمام مثلثها (چه حاده، چه قائمه و چه منفرجه) دارای دایره محیطی هستند. شعاع این دایره را "Circumradius" مینامند و معمولاً با حرف بزرگ R نشان داده میشود. مرکز این دایره (Circumcenter) محل برخورد عمودمنصفهای اضلاع مثلث است.
فرمول ریاضی
رابطه بین اضلاع و شعاع دایره محیطی یکی از زیباترین روابط هندسی است که به صورت زیر بیان میشود:
R = (a × b × c) / (4 × Area)
Area (Heron) = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
s = (a + b + c) / 2
s = (a + b + c) / 2
- R: شعاع دایره محیطی
- a, b, c: طول اضلاع مثلث
- Area: مساحت مثلث
مثالهای کاربردی
۱. مثلث طلایی (۳-۴-۵)
یک مثلث قائمالزاویه با اضلاع ۳، ۴ و ۵.
Area = 6, abc = 60
R = 60 / (4×6) = 2.5(دقیقا نصف وتر)
۲. مثلث متساویالاضلاع
برای مثلثی با ضلع ۶:
Area = 9√3, abc = 216
R = 216 / 36√3 ≈ 3.46
۳. ناوبری و موقعیتیابی
در سیستمهای GPS، یافتن دایرهای که از سه ایستگاه سیگنال میگذرد برای مثلثبندی موقعیت کاربرد دارد.
اشتباهات رایج
- خلط با شعاع محاطی (r): شعاع دایره محاطی (که درون مثلث است) با فرمول r = Area/s محاسبه میشود و معمولاً کوچکتر از R است.
- فراموش کردن ضربدر ۴: در مخرج کسر، مساحت باید در ۴ ضرب شود. اشتباه رایج، تقسیم abc بر مساحت خالی است.
سوالات متداول
آیا مرکز دایره همیشه داخل مثلث است؟
خیر. در مثلثهای حاده (تندزاویه) داخل، در مثلث قائمالزاویه روی وتر، و در مثلث منفرجه (باززاویه) بیرون از مثلث قرار میگیرد.
رابطه قانون سینوسها چیست؟
طبق قانون سینوسها: a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R. این فرمول روش دیگری برای محاسبه R است اگر زوایا را داشته باشید.