مبین (Discriminant) چیست؟
در جبر، مبین یا همان دلتا (Δ)، عبارتی است که اطلاعات حیاتی درباره طبیعت ریشههای یک چندجملهای (معمولاً درجه دوم) به ما میدهد، بدون اینکه نیاز باشد آن معادله را کاملاً حل کنیم. نام انگلیسی آن "Discriminant" به معنی "متمایز کننده" است، زیرا بین حالتهای مختلف جواب تمایز قائل میشود. این عدد در واقع همان عبارت زیر رادیکال در فرمول کلی حل معادلات درجه دوم است.
فرمول و تفسیر هندسی
برای معادله استاندارد ax² + bx + c = 0، مقدار دلتا از رابطه زیر به دست میآید:
نمودار محور x را در دو نقطه قطع میکند. (دو ریشه حقیقی متمایز)
نمودار بر محور x مماس میشود. (یک ریشه مضاعف)
نمودار هیچ برخوردی با محور x ندارد. (ریشه حقیقی ندارد)
مثالهای حل شده
x² - 5x + 6 = 0در اینجا a=1, b=-5, c=6 است.
Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1
چون مثبت است، پس دو ریشه حقیقی دارد.
x² - 4x + 4 = 0در اینجا a=1, b=-4, c=4 است.
Δ = (-4)² - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0
چون صفر است، یک ریشه مضاعف دارد.
خطاهای رایج محاسباتی
- به توان رساندن b منفی: وقتی b منفی است (مثلا ۵-)، توان دوم آن مثبت میشود (۲۵). بسیاری اشتباهاً آن را منفی مینویسند.
- علامت ضریب c: اگر c منفی باشد، عبارت
-4acتبدیل به مثبت میشود (منفی در منفی). این نکته بسیار مهم است. - تشخیص a: اگر ضریب
x²نوشته نشده باشد، یعنی a برابر با ۱ است، نه صفر.
سوالات متداول
آیا دلتا میتواند منفی باشد؟
دلتا پریم (Δ') چیست؟
Δ' = (b/2)² - ac. این فرمول محاسبات را سادهتر میکند اما نتیجه نهایی (تعیین تعداد ریشه) یکسان است.