مخروط ناقص چیست؟ (Frustum of a Cone)
مخروط ناقص (Frustum) یا "تنه مخروط"، شکلی است که از برش دادن قسمت بالایی (نوک) یک مخروط کامل به موازات قاعده آن به دست میآید. این شکل در زندگی روزمره بسیار پرکاربرد است؛ بسیاری از سطلهای زباله، گلدانها، لیوانها و حتی آباژورها به شکل مخروط ناقص هستند.
محاسبه حجم این شکل برای کشاورزان (ظرفیت خاک گلدان)، مهندسان عمران (پایههای پل) و صنایع بستهبندی (طراحی لیوان ماست یا بستنی) اهمیت زیادی دارد.
فرمول محاسبه (روش دستی)
برای محاسبه حجم، به سه عدد نیاز دارید: شعاع بزرگ (R)، شعاع کوچک (r) و ارتفاع عمودی (h). فرمول ریاضی به صورت زیر است:
مراحل گامبهگام:
۱. شعاع بزرگ را به توان ۲ برسانید ($R^2$).
۲. شعاع کوچک را به توان ۲ برسانید ($r^2$).
۳. دو شعاع را در هم ضرب کنید ($R \times r$).
۴. هر سه عدد بالا را با هم جمع کنید.
۵. حاصل را در ارتفاع ($h$) و عدد پی ضرب کرده و در نهایت بر ۳ تقسیم کنید.
مثالهای کاربردی در ایران
۱. گنجایش لیوان
یک لیوان کاغذی قهوه دارای شعاع دهانه ۴cm، شعاع کف ۳cm و ارتفاع ۱۰cm است. حجم آن حدود ۳۸۷ سانتیمتر مکعب (میلیلیتر) است.
۲. حجم خاک گلدان
یک گلدان پلاستیکی با شعاع بالای ۱۵cm و شعاع پایین ۱۰cm و ارتفاع ۲۰cm، چقدر خاک میگیرد؟ حجم محاسبه شده حدود ۹۹۴۳ سانتیمتر مکعب (تقریباً ۱۰ لیتر) است.
۳. سطل آب
یک سطل نظافت با قطر دهانه ۳۰cm (شعاع ۱۵) و قطر کف ۲۰cm (شعاع ۱۰) و ارتفاع ۳۰cm، گنجایش حدود ۱۴.۹ لیتر آب را دارد.
خطاهای رایج محاسباتی
- استفاده از ارتفاع مایل
در فرمول حجم، باید از ارتفاع عمودی ($h$) استفاده کنید. اگر طول دیواره کج سطل را اندازه بگیرید، جواب غلط خواهد بود.
- فراموش کردن ضرب $R \times r$
برخی کاربران به اشتباه فقط $R^2 + r^2$ را حساب میکنند و ترم سوم ($Rr$) را فراموش میکنند. این باعث میشود حجم کمتر از مقدار واقعی محاسبه شود.
- استفاده از قطر
همیشه مطمئن شوید که قطر دهانه یا کف را تقسیم بر ۲ کردهاید تا شعاع به دست آید.