مبانی علمی: مثلثات سایه چیست؟
روش "محاسبه ارتفاع از روی سایه" یکی از کاربردیترین تکنیکهای هندسه و مثلثات است که قدمتی چند هزار ساله دارد. این روش بر اساس قانون تشابه مثلثها و نسبتهای مثلثاتی در یک مثلث قائمالزاویه بنا شده است. زمانی که جسمی بر روی زمین صاف قرار دارد و خورشید به آن میتابد، جسم، سایه آن و پرتو نوری که از نوک جسم به انتهای سایه میرسد، یک مثلث قائمالزاویه تشکیل میدهند.
در این مثلث فرضی، ارتفاع جسم همان ضلع مقابل به زاویه تابش، و طول سایه ضلع مجاور به آن زاویه است. بنابراین با استفاده از تابع تانژانت (Tangent) میتوان بدون نیاز به بالا رفتن از جسم، ارتفاع آن را با دقت بالایی محاسبه کرد. این روش در نقشهبرداری، معماری و حتی نجوم کاربرد حیاتی دارد.
فرمول محاسبه دستی
برای محاسبه ارتفاع (Height) با داشتن طول سایه (Shadow Length) و زاویه تابش (Angle)، از فرمول زیر استفاده میکنیم:
مثالهای کاربردی در دنیای واقعی
۱. محاسبه ارتفاع برج میلاد
فرض کنید در یک روز آفتابی در تهران، سایه برج میلاد را اندازه گرفتهاید و طول آن ۲۵۱ متر است. اگر در همان لحظه زاویه تابش خورشید دقیقاً ۶۰ درجه باشد، ارتفاع برج چقدر است؟
h = 251 × tan(60°) ≈ 435 meters
۲. ارتفاع درخت سرو در باغ ارم
باغبان باغ ارم شیراز میخواهد ارتفاع یک درخت سرو قدیمی را بداند. سایه درخت ۱۵ متر است و زاویه خورشید ۴۵ درجه میباشد.
h = 15 × tan(45°) = 15 meters(در زاویه ۴۵ درجه، طول سایه با ارتفاع برابر است).
۳. نصب دکل مخابراتی
مهندسی نیاز دارد ارتفاع یک دکل را تایید کند. سایه دکل ۲۰ متر و زاویه خورشید ۳۰ درجه است.
h = 20 × tan(30°) ≈ 11.54 meters
خطاهای رایج محاسباتی
- شیب زمین: اگر زمین زیر سایه صاف نباشد (شیبدار باشد)، این فرمول ساده دیگر دقیق نیست و نیاز به فرمولهای پیچیدهتری دارد.
- واحد زاویه: اطمینان حاصل کنید ماشین حساب شما روی درجه (Degree) تنظیم شده باشد، نه رادیان (Radian).
- اندازهگیری سایه: سایه باید از مرکز پایه جسم تا نوک سایه اندازهگیری شود، نه از لبه بیرونی پایه.
- تغییر زاویه خورشید: خورشید دائماً در حال حرکت است. اندازهگیری طول سایه و زاویه باید همزمان انجام شود.
- سایه نیمسایه: لبههای سایه ممکن است محو باشند (Penumbra). همیشه وسطِ مرز محو شده را به عنوان انتهای سایه در نظر بگیرید.