ورساین (Versed Sine) چیست؟
تابع ورساین (versin) یکی از توابع مثلثاتی کلاسیک است که در متون قدیمی نجوم و ناوبری دریایی کاربرد فراوانی داشته است. نام این تابع از عبارت لاتین sinus versus به معنای "سینوس وارونه" یا "سینوس برگردانده شده" گرفته شده است.
از نظر هندسی، اگر یک دایره واحد رسم کنید، ورساین یک زاویه برابر است با فاصله افقی بین کسینوس آن زاویه تا محیط دایره (عدد ۱). به همین دلیل، ورساین همیشه عددی مثبت بین ۰ و ۲ است و برخلاف کسینوس که نوسان مثبت و منفی دارد، برای محاسبات فواصل (که همیشه مثبت هستند) بسیار مناسب بوده است.
فرمول ریاضی
تعریف اصلی ورساین به صورت زیر است:
versin(θ) = 1 - cos(θ)
(Also defined as: 2 · sin²(θ/2))
θ Angle (زاویه)
cos(θ) Cosine Function
مثالهای عددی
۱. زاویه صفر درجه
کسینوس زاویه صفر برابر با ۱ است.
versin(0°) = 1 - cos(0°) = 1 - 1 = 0
۲. زاویه ۹۰ درجه (قائمه)
کسینوس زاویه ۹۰ درجه برابر با ۰ است.
versin(90°) = 1 - cos(90°) = 1 - 0 = 1
۳. زاویه ۶۰ درجه
کسینوس ۶۰ درجه برابر با ۰.۵ است.
versin(60°) = 1 - 0.5 = 0.5
اشتباهات رایج
- اشتباه با هاورسین (Haversine): بسیاری ورساین را با هاورسین اشتباه میگیرند. هاورسین نصف ورساین است ((1 - cos θ) / 2) و در فرمولهای فاصله کروی کاربرد دارد.
- واحد زاویه: اگر از ماشین حسابهای مهندسی یا اکسل استفاده میکنید، دقت کنید که ورودی کسینوس معمولاً رادیان است، نه درجه. این ابزار به طور خودکار تبدیل را انجام میدهد.
- دامنه تغییرات: خروجی ورساین هرگز منفی نمیشود و هرگز بیشتر از ۲ نخواهد بود. اگر عددی خارج از این بازه دیدید، محاسبات غلط است.
سوالات متداول
چرا امروزه کمتر نام ورساین را میشنویم؟▼
با ظهور رایانهها و ماشینحسابهای دیجیتال که به راحتی کسینوس را محاسبه میکنند، نیاز به جداول مجزای ورساین (که برای پرهیز از اعداد منفی استفاده میشد) از بین رفته است. اما این تابع همچنان در تئوری ناوبری اهمیت دارد.
حداکثر مقدار ورساین چقدر است؟▼
حداکثر مقدار ورساین برابر با ۲ است که در زاویه ۱۸۰ درجه رخ میدهد (چون کسینوس ۱۸۰ برابر با ۱- است و فرمول میشود: ۱ منهای منفی ۱ = ۲).