متوازیالسطوح چیست؟
متوازیالسطوح (Parallelepiped) یک حجم هندسی سه بعدی است که از شش وجه متوازیالاضلاع تشکیل شده است. این شکل را میتوان به صورت یک جعبه کج تصور کرد. در هندسه تحلیلی و جبر خطی، حجم این شکل به کمک سه بردار که از یک رأس مشترک خارج میشوند، محاسبه میگردد. این سه بردار در واقع یالهای سازنده حجم هستند.
فرمول: ضرب سهگانه اسکالر
حجم متوازیالسطوح برابر است با قدر مطلق ضرب سهگانه اسکالر (Scalar Triple Product) سه بردار سازنده آن. این مقدار معادل قدر مطلق دترمینان ماتریس ۳×۳ تشکیل شده از مولفههای بردارهاست.
که در آن det(A) دترمینان ماتریسی است که ردیفهای آن مولفههای بردارهای a، b و c هستند.
مثالهای واقعی و کاربردی
۱. بلورشناسی (کریستالوگرافی)
در علم مواد و شیمی، برای محاسبه حجم سلول واحد (Unit Cell) در شبکههای کریستالی تریکلینیک (Triclinic) از این روش استفاده میشود. بردارهای شبکه پایه (Lattice Vectors) همان ورودیهای این محاسبه هستند.
۲. تحلیل تنش در مکانیک
در مکانیک محیطهای پیوسته، تغییر شکل یک المان حجمی کوچک تحت تنش برشی باعث تبدیل مکعب به متوازیالسطوح میشود. محاسبه تغییر حجم (Dilatation) با استفاده از دترمینان گرادیان تغییر شکل انجام میشود.
۳. گرافیک کامپیوتری
در رندرینگ و تشخیص برخورد (Collision Detection)، از این محاسبات برای بررسی حجمهای محصور کننده (Bounding Volumes) کج استفاده میشود تا سرعت پردازش صحنههای سه بعدی افزایش یابد.
خطاهای رایج
- فراموش کردن قدر مطلق
دترمینان میتواند منفی باشد (بسته به جهتگیری بردارها یا قاعده دست راست/چپ)، اما حجم همواره مثبت است. همیشه باید قدر مطلق نتیجه نهایی را در نظر بگیرید.
- ترتیب اشتباه در ضرب خارجی
هرچند در محاسبه حجم نهایی تاثیر ندارد (چون قدر مطلق میگیریم)، اما در محاسبات جبری، جابجایی بردارها در ضرب خارجی باعث تغییر علامت دترمینان میشود.